Notes sur les méthodes (analyses) numériques - 2° partie, Notes de Applications informatiques
Francine88
Francine8813 January 2014

Notes sur les méthodes (analyses) numériques - 2° partie, Notes de Applications informatiques

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Notes d’informatique sur les méthodes (analyses) numériques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les problèmes NPC, partie entière, démonstrations, l'algorithme d'héron, l'algorithme d'archimède,...
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solution polynomiale à ce problème implique une solution polynomiale à tous les problèmes

NP.

Autrement formulé, les problèmes NPC ont une complexité exponentielle et ils ont tous la

même classe de complexité (modulo les polynômes).

Finalement, ce qu'il importe de bien comprendre et de retenir de tout cette théorie, son idée

maîtresse, est que si nous trouvons un jour un algorithme de complexité polynomiale pour un

seul de ces problèmes vraiment difficiles que sont les problèmes NPC, alors d'un seul coup NP

devient égal à P et tous les problèmes difficiles deviennent faciles !

Pour résumer, être dans P, c'est trouver une solution en un temps polynomial, tandis qu'être

dans NP, c'est prouver en un temps polynomial qu'une proposition de réponse est une solution

du problème. Ainsi, tout problème qui est dans P se trouve dans NP. Un champ de recherche

majeur des mathématiques actuelles est l'investigation de la réciproque : a-t-on P=NP?

Autrement dit, peut-on trouver en un temps polynomial ce que l'on peut prouver en temps

polynomial?

Remarque: Ce problème est si important en informatique qu'il fait partie (arbitrairement) des 7

problèmes du millénaire, dont la résolution est primée 1 million de dollars par le Clay

Mathematic Institute.

Passons maintenant à l'étude de quelques applications types des méthodes numériques dont il

est très souvent fait usage dans l'industrie. Nous irons du plus simple au plus compliqué et

sans oublier que beaucoup de méthodes ne se trouvant pas dans ce chapitre peuvent parfois

être trouvées dans d'autres sections du site!

PARTIE ENTIÈRE Le plus grand entier inférieur ou égal à un nombre réel x est par [x], qui se lit "partie entière

de x".

Ainsi, le nombre M est entier si et seulement si [M]=M. De même, le naturel A est divisible dans

l'ensemble des naturels par le naturel B si et seulement si:

(57.10)

Nous notons aussi {x} pour désigner la partie fraction de x; on a ainsi:

(57.11)

Soit . Alors nous avons les propriétés suivantes :

P1. , , où

P2. , lorsque

P3. , si

P4.

P5. si , si

P6. si

P7. Si , alors [x / a] représente le nombre d'entiers positifs inférieurs ou égaux à x qui

sont divisibles para.

Démonstrations:

La première partie de P1 est simplement la définition de [x] sous forme algébrique. Les deux

autres parties sont des réarrangements de la première partie. Dans ce cas, nous pouvons écrire

(57.12)

où .

Pour P2, la somme est vide pour et, dans ce cas, on adopte la convention selon laquelle la

somme vaut 0. Alors, pour , la somme compte le nombre d'entiers positifs n qui sont plus

petits ou égaux à x. Ce nombre est évidemment [x].

La démonstration de P3 sera supposée évidente.

Pour prouver P4, nous écrivons :

, (57.13)

où n et m sont des entiers et où et . Alors:

(57.14)

En écrivant , où , nous avons

(57.15)

où .

Il s'ensuit que:

0 si -1 si (57.16)

et on obtient la démonstration P5.

Pour démontrer P6, nous écrivons :

(57.17)

où , et :

(57.18)

où . Nous obtenons ainsi:

(57.19)

puisque . Par ailleurs:

(57.20)

et nous avons ainsi le résultat.

Pour la dernière partie, nous observons que, si sont tous les entiers

positifs qui sont divisibles par a, il suffit de prouver que . Puisque ,

alors:

(57.21)

c'est-à-dire :

(57.22)

soit le résultat attendu.

C.Q.F.D.

Remarque: La méthode d'arrondi de valeurs réelles est donnée dans le chapitre d'Économétrie.

ALGORITHME D'HÉRON

Soit à calculer la racine carrée:

(57.23)

Il existe un algorithme dit "algorithme d'Héron" qui permet de calculer la valeur de cette racine

carrée.

Démonstration:

(57.24)

Nous obtenons alors la relation:

(57.25)

C.Q.F.D.

Exemple:

Soit à calculer :

(57.26)

Nous prenons :

Itération xi /2 A/2xi xi+1 Ecart

1 5 0.5 5.50 ~2.3

2 2.750 0.90 3.659 090 909 ~0.49

3 1.82954 1.3664 3.196 005 083 ~0.033

4 1.59800 1.5644 3.162 455 624 ~0.0002

5 1.58122 1.5810 3.162 277 665 ~0.5 10-8

Tableau: 57.2 - Itérations pour l'algorithme d'Héron

Dans le cas de la racine cubique, la démonstration est semblable et nous obtenons:

(57.27)

Signalons encore que le lecteur pourra trouver dans le chapitre de Théorie des Nombres la

méthode utilisée pendant l'antiquité (du moins une analogie) et utilisant les fractions continues.

ALGORITHME D'ARCHIMÈDE

Le calcul de la constante universelle "pi" notée est très certainement le plus grand intérêt de

l'algorithmique puisque l'on retrouve cette constante un peu partout en physique et

mathématique (nous pouvons vous conseiller un très bon ouvrage sur le sujet).

Nous rappelons que nous n'en avons pas donné la valeur ni en géométrie, ni dans les autres

sections de ce site jusqu'à maintenant. Nous allons donc nous attacher à cette tâche.

Nous définissons définit en géométrie le nombre dit "pi", quelque soit le système métrique

utilisé (ce qui fait son universalité), comme le rapport de la moitié du périmètre d'un cercle par

son rayon tel que:

(57.28)

Nous devons le premier algorithme du calcul de cette constante à Archimède (287-212 av. J.-

C.) dont voici la démonstration.

Démonstration:

Soit un n-polygone inscrit dans un cercle:

(57.29)

Le principe de l'algorithme d'Archimède est le suivant: Soit le périmètre d'un polygone

régulier de n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1/2. Archimède arrive par induction que:

(57.30)

Nous avons pour périmètre d'un n-polygone:

et (57.31)

Avec :

(57.32)

Donc:

(57.33)

Il suffit d'un ordinateur ensuite et de plusieurs itérations pour évaluer avec une bonne précision

la valeur de . Evidemment, on utilise l'algorithme d'Héron pour calculer la racine...

C.Q.F.D.

Remarque: Il existe un très grand nombre d'algorithmes pour calculer . Celle présentée ci-

dessus, sans être la plus esthétique, est historiquement la première.

CALCUL DU NOMBRE D'EULER Parmi la constante , il existe d'autres constantes mathématiques importantes qu'il faut

pouvoir générer à l'ordinateur (de nos jours les valeurs constantes sont stockées telles quelles

et ne sont plus recalculées systématiquement). Parmi celles-ci, se trouve le "nombre d'Euler"

noté e (cf. chapitre d'Analyse Fonctionnelle). Voyons comment calculer ce nombre:

Soit la série de Taylor, pour une fonction indéfiniment dérivable f donnée par (cf chapitre sur

les Suites Et Séries):

(57.34)

Comme (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(57.35)

nous avons:

(57.36)

Donc en résumé:

(57.37)

Cette relation donne un algorithme pour calculer l'exponentielle à un ordre n donnée de

précision.

Remarque: Pour diminuer la complexité de cet algorithme, la factorielle peut être calculée avec

la formule exposée ci-après.

CALCUL DE LA FACTORIELLE (FORMULE

DE STIRLING)

Evidemment, la factorielle pourrait être calculée avec une simple itération. Cependant, ce genre

de méthode génère un algorithme à complexité exponentielle ce qui n'est pas le mieux. Il existe

alors une autre méthode :

Soit, la définition de la factorielle :

(57.38)

Et d'après les propriétés des logarithmes :

(57.39)

Si n est très grand (mais alors très...) alors:

(57.40)

Lorsque , la limite inférieure est négligeable et alors:

(57.41)

Après une petite simplification élémentaire, nous obtenons:

(57.42)

Cette dernière relation est utile si l'on suppose bien évidemment que la constante d'Euler est

une valeur stockée dans la machine...

SYSTEMES D'ÉQUATIONS LINÉAIRES Il existe de nombreuses méthodes de résolution de systèmes d'équations linéaires. La plupart

d'entre elles ont été mises au point pour traiter des systèmes particuliers. Nous en étudierons

une, appelée la "méthode de réduction de Gauss", qui est bien adaptée à la résolution des petits

systèmes d'équations (jusqu'à 50 inconnues).

Remarques:

R1. La validité de certaines des opérations que nous allons effectuer ici pour résoudre les

systèmes linéaires se démontrent dans le chapitre traitant de l'Algèbre Linéaire. Au fait, pour être

bref, le tout fait appel à des espaces vectoriels dont les vecteurs-colonnes sont linéairement

indépendants.

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