Notes sur les méthodes régulières des perturbations, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les méthodes régulières des perturbations, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les méthodes régulières des perturbations. Les principaux thèmes abordés sont les suivants:la théorie perturbative des équations algébriques,la théorie perturbative des équations différentielles...
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Méthode régulière des perturbations.

Très fréquemment en physique (de pointe), un problème mathématique ne peut pas être résolu de

manière exacte. Si la solution est connue il y a parfois une telle dépendance de paramètres que la

solution est difficile à utiliser en tant que tel.

Il peut être le cas, cependant, qu'un paramètre identifié, disons par tradition, tel que la solution

est disponible est raisonnablement simple pour .

Le souci ensuite est de savoir comme la solution est altérée pour un non-nul mais petit quand

même. Cette étude est le centre de la théorie des perturbations que nous utilisons par exemple

dans le chapitre de relativité générale pour calculer la précession du périhélie de Mercure.

Comme la théorie dans le cadre général est trop complexe par rapport aux objectifs du site, nous

nous proposons une approche par l'exemple d'abord avec une simple équation algébrique et

ensuite avec ce qui nous intéresse : une E.D.

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES

Considérons l'équation polynômiale suivante :

(10.56)

Nous savons de par notre étude du chapitre d'analyse fonctionnelle, que cette équation

polynômiale admet deux racines qui sont trivialement :

(10.57)

Pour petit, ces racines peuvent être approximées par le premier terme en développement de

série de Taylor (cf. chapitre de Suites Et Séries) :

(10.58)

La question et de savoir si nous pouvons obtenir les deux relations précédentes sans à priori de

connaissances sur la solution exacte de l'équation polynômiale initiale? La réponse est bien

évidemment affirmative avec l'aide de la théorie des perturbations.

La technique se base en quatre étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation polynômiale est un

expression du type série de Taylor en . Nous avons alors :

(10.59)

où sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation

polynômiale :

(10.60)

Comme :

(10.61)

et :

(10.62)

Il vient finalement que l'équation polynômiale s'écrit :

(10.63)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

(10.64)

4. Quatrième et dernière étape, nous résolvons successivement les équations polynômiales ci-

dessus pour obtenir :

(10.65)

En injectant ces résultants dans la solution hypothétique :

(10.66)

il est évident d'observer que nous retombons sur la solution certaine :

(10.67)

THÉORIE PERTURBATIVE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

La théorie des perturbations est aussi souvent utilisée pour résoudre un bon nombre d'équations

différentielles. C'est le cas par exemple en mécanique des fluides, en relativité générale ou en

physique quantique.

A nouveau, plutôt que de faire une théorie ultra abstraite et générale, voyons le concept sur un

exemple tel que précédemment.

Considérons l'équation différentielle suivante :

(10.68)

ou autrement écrit :

(10.69)

avec les conditions aux limites .

La résolution exacte est relativement facile à obtenir:

D'abord nous commençons par l'équation homogène :

(10.70)

C'est donc une équation différentielle linéaire d'ordre 2 avec des coefficients constants, équation

qu'il est relativement aisé de résoudre dans le cas général. Soit l'équation :

(10.71)

Supposons que la fonction y qui satisfait cette équation différentielle soit de la

forme où K peut être un nombre complexe. Nous avons alors :

ou (10.72)

pourvu, bien sûr, que . Cette dernière relation est donc l'équation quadratique auxiliaire

de l'équation différentielle (polynôme caractéristique). Elle a deux solutions/racines (c'est une

simple résolution d'un polynôme du deuxième degré) que nous noterons dans le cas général

: . Ce qui signifie que :

et (10.73)

est satisfait pour les deux racines. Si nous faisons la somme puisque les deux sont égales à la

même constante :

(10.74)

Ainsi, il est immédiat que la solution générale de l'équation homogène de y est du type :

(10.75)

où A, B sont bien évidemment des constantes à déterminer. Nous résolvons maintenant le

polynôme caractéristique :

(10.76)

Il vient immédiatement que :

(10.77)

Donc :

(10.78)

Maintenant une solution particulière à :

(10.79)

est relativement trivialement une solution du type :

(10.80)

où B est bien évidemment une constante à déterminer et qui vaut simplement une fois injectée

dans l'équation différentielle :

(10.81)

Soit :

(10.82)

D'où finalement la solution générale :

(10.83)

Ensuite, avec les conditions initiales il est très facile de trouver A :

(10.84)

et :

(10.85)

Il est loisible de choisir que .

Donc :

(10.86)

Maintenant que nous avons la solution générale, si est petit nous pouvons prendre le

développement d'ordre 4 en série de MacLaurin de l'exponentielle (cf. chapitre de Suites Et Séries).

Tel que :

(10.87)

Injecté dans y cela donne :

(10.88)

Maintenant que nous avons ce développement, ce que nous souhaitons montrer c'est qu'à partir

d'un développement perturbatif nous pouvons retrouver le même résultat en série et ce sans

aucune connaissance préalable sur la solution.

A nouveau, le développement pour cela ce fait en 4 étapes :

1. Dans la première étape, nous assumons que la solution de l'équation différentielle est un

expression du type série de Taylor en . Nous avons alors :

(10.89)

où sont bien évidemment à déterminer.

2. Dans la deuxième étape, nous injectons la solution hypothétique dans notre équation

différentielle dans celle-ci avec les conditions initiales et nous développons le tout.

D'abord l'équation différentielle :

(10.90)

ensuite les conditions initiales :

(10.91)

3. Dans la troisième étape nous égalisons successivement les termes avec 0 tel que :

(10.92)

4. Dans la quatrième étape nous résolvons les équations différentielles listées précédemment (si

vous ne voyez pas comment nous les résolvons n'hésitez pas à nous contacter!) :

(10.93)

En injectant ces relations dans la solution supposée développée en série de Taylor et injectée dans

l'équation différentielle :

(10.94)

Nous retombons sur :

(10.95)

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