Notes sur les métriques - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les métriques - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur la mécanique statistique - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les métriques - 1° partie, Suppositions, les exemples, l'équation métrique.
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MÉTRIQUES

Einstein supposa donc que la gravitation n'était que la manifestation de déformations de

l'espace-temps. Pour tenter d'illustrer de façon simpliste mais très imagée l'idée d'Einstein,

considérons une roue dentée roulant à vitesse constante (disons une dent à la seconde) sur une

crémaillère. Imaginons que nous ayons le pouvoir de modifier simultanément le pas de la

crémaillère et celui de la roue quand et où nous le désirons. Faisons alors en sorte que le pas

de la crémaillère augmente légèrement d'une dent à l'autre. Pour des observateurs fixes la roue

est alors animée d'un mouvement uniformément accéléré car, en effet, à chaque tour celle-ci

parcourt une distance toujours plus grande. En revanche, si l'on choisit la crémaillère comme

référentiel et le pas de celle-ci comme étalon de mesure, le mouvement de la roue est alors

uniforme (une dent par seconde). L'accélération de la roue est la conséquence de

l'augmentation du pas de la crémaillère.

Poursuivons l'analogie : le pas de la crémaillère joue le rôle d'étalon de mesure local dans notre

espace à une dimension que constitue la crémaillère. En géométrie, il porte le nom de

"métrique". La métrique est ce qui permet de déterminer la distance entre deux points, elle

représente en quelque sorte l'étalon infinitésimal d'un espace. En géométrie euclidienne la

métrique est une constante ce qui nous permet de créer des étalons de mesure universels.

Bernhard Riemann, inventa une géométrie où la métrique peut varier d'un point à un autre de

l'espace, ce qui lui permit de décrire des espaces courbes comme la surface d'une sphère par

exemple (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

Lors de notre étude du calcul tensoriel, des géométries non-euclidiennes et de la géométrie

différentielle, nous avons vu que la mesure de la distance ds entre deux points positionnés

dans un espace à deux ou trois dimensions peut s'effectuer au moyen d'un grand nombre de

système de coordonnées par "l'équation métrique" (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

(50.6)

Exemples:

E1. Les coordonnées rectangulaires (dans ) :

(50.7)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf.

chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E2. Les coordonnées polaires (dans ) :

(50.8)

d'où:

(50.9)

d'où:

(50.10)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf.

chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E3. Les coordonnées cylindriques pour lesquelles nous avons :

(50.11)

à remplacer dans nous obtenons de façon quasiment identique à

précédemment:

(50.12)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf.

chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E4. Les coordonnées sphériques (dans ) pour lesquelles nous avons :

(50.13)

à remplacer dans nous obtenons :

(50.14)

Petit rappel préalable:

(50.15)

Donc:

(50.16)

Après une première série de mise en commun et de simplifications élémentaires des termes

identiques, nous obtenons:

(50.17)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace courbe (de

type sphérique) mais qui localement peut être plat (cf. chapitre de Géométries Non-

Euclidiennes).

Jusque là, vous vous demandez peut-être où nous voulons en venir. Au fait, nous cherchons à

définir à partir des ces relations, un être mathématique qui en concordance avec l'hypothèse

d'Einstein, exprime les propriétés géométriques d'espaces donnés.

Comment allons-nous faire? : Nous allons d'abord changer d'écriture tout simplement. Au lieu

d'utiliser les symboles nous allons écrire . Attention! Les chiffres en

suffixes ne sont pas des puissances. Ce sont des valeurs muettes qui sont là uniquement pour

symboliser la x-ème coordonnée d'un repère donné.

Ecrivons maintenant à nouveau nos équations métriques avec cette nouvelle notation :

- Coordonnées rectangulaires:

(50.18)

- Coordonnées polaires:

(50.19)

- Coordonnées cylindriques:

(50.20)

- Coordonnées sphériques:

(50.21)

Maintenant rappelons encore une fois que le "tenseur métrique" (nommé ainsi car il étalonne

l'espace-temps) noté :

(50.22)

intervient dans l'équation métrique de la manière suivante :

(50.23)

et remarquez que les composantes de la matrice sont sans dimensions aussi.

Cet être mathématique qui est un tenseur contient donc les paramètres de la courbure (nous

disons parfois aussi de la "contrainte" ou de la "tension") dans lequel un espace se trouve. Mais

alors que contient le tenseur métrique d'espace-temps pour un espace euclidien plat?:

Selon la convention d'écriture de sommation d'Einstein (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) par

exemple, pour nous avons:

(50.24)

Donc si nous revenons à notre tenseur pour l'espace euclidien plat nous savons déjà (cf.

chapitre de Calcul Tensoriel) que m et n vont de 1 à 3 et que nous avons dans notre

tenseur pour et pour (tenseur symétrique). Donc:

(50.25)

Ainsi :

(50.26)

Ce résultat est remarquable car le tenseur métrique va nous permettre donc de définir les

propriétés d'un espace à partir d'un simple être mathématique facilement manipulable

formellement.

En coordonnées polaires le tenseur s'écrit:

(50.27)

Vérification:

(50.28)

En coordonnées cylindriques le tenseur s'écrit:

(50.29)

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En coordonnées sphériques le tenseur est un peu plus complexe et s'écrit:

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