Notes sur les métriques - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les métriques - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les métriques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le critère de schild, la métrique
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(50.30)

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En relativité restreinte, nous avons vu que les notions d'espace et de temps étaient

implicitement liées. Ainsi, pour étudier la physique (cela intéresse peu le mathématicien), nous

avons besoin d'ajouter à notre tenseur métrique la composante du temps pour obtenir ce que

nous appelons le "tenseur métrique d'espace-temps".

Pour déterminer l'écriture de ce tenseur, nous allons nous placer dans un premier temps dans

un espace de Minkowski où nous avions rappelons-le (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(50.31)

qui est donc l'intervalle infinitésimal d'espace-temps entre deux événements infiniments voisins

(ou considérés comme tel à une certaine échelle...).

Ainsi, en posant:

(50.32)

Nous avons:

(50.33)

avec la "signature" :

(50.34)

Remarque: Pour tous les tenseurs métriques que nous avons déterminés avant, si nous les

exprimons dans l'espace-temps (donc en rajoutant le temps), les composantes spatiales ont toutes

un signe négatif!

Nous verrons par la suite d'autres métriques beaucoup moins intuitives une fois que nous

aurons démontré bien plus loin l'équation d'Einstein des champs.

CRITÈRE DE SCHILD

Nous allons maintenant voir que pour étudier la gravitation, la géométrie courbe est nécessaire

après quoi (il nous faudra démontrer l'équation des géodésiques avant!) nous montrerons

qu'elle est également suffisante. Nous verrons que la gravitation telle qu'elle est formulée en

mécanique newtonienne est entièrement descriptible à partir d'une formulation de courbure de

l'espace-temps.

Imaginons d'abord une tour d'une très grande hauteur h construite à la surface de la Terre. Un

homme A se trouve au pied de la tour, et envoie un signal de pulsation à son

collègue B situé en haut de la tour. Il se trouve, et nous allons de suite le démontrer, que la

pulsation de l'onde reçue par B diffère de selon:

(50.35)

où:

(50.36)

Ce décalage des pulsations (respectivement fréquences) dans un champ gravitationnel est ce

que nous appelons "l'effet Einstein", ou encore "redshift gravitationnel".

Nous allons démontrer cette relation à l'aide d'arguments classiques et connus maintenant.

Un corps matériel envoyé du sol vers le ciel doit lutter contre la force de gravitation qui l'attire

vers le bas. Il perdra donc une certaine quantité d'énergie, équivalent à l'énergie potentielle

gravitationnelle gagnée durant le trajet. L'énergie du corps au niveau du sol est donc son

énergie de masse à laquelle s'ajoute l'énergie potentielle à la hauteur de la tour :

(50.37)

L'énergie de ce corps une fois arrivé en haut de la tour est simplement son énergie de masse :

(50.38)

car il a dû dépenser la quantité d'énergie mgh durant le trajet. Le rapport des énergies est alors

:

(50.39)

Ce rapport étant indépendant de la masse, on peut prendre la limite afin d'avoir la

relation pour le photon. Nous obtenons alors :

(50.40)

ce qui implique:

(50.41)

Nous allons maintenant étudier ce phénomène dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski.

Nous verrons apparaître une contradiction, ce qui motivera le passage vers un espace-temps de

courbe : c'est l'argument en faveur d'une géométrie courbe qui a été utilisé par Schild.

Considérons à nouveau le schéma d'expérience de l'homme A qui envoie une onde vers son

ami B. Soit le temps mis par A pour émettre exactement 1 cycle de l'onde (cf. chapitre de

Mécanique Ondulatoire) :

(50.42)

et le temps mis par B pour recevoir ce cycle :

(50.43)

A cause de l'effet Einstein, nous savons que et donc en temps propre ! Soit

en le temps passe plus lentement pour quelqu'un au sol (A) qu'une autre personne en haute

d'une montagne (B)!

Mais comme nous sommes en géométrie plate et que le champ gravitationnel est supposé

statique, nous en déduisons que les trajectoires d'espace-temps décrites par les signaux

doivent être parallèles. Ceci mène à la conclusion que l'intervalle de temps propre

serait (selon la relativité restreinte).

Si nous optons pour un espace courbe, nous pouvons préserver la relation , c'est-à-

dire le fait que le temps avance plus lentement pour A que pour B. Ceci se traduit simplement

par le fait qu'en géométrie courbe, le temps propre (!) d'un observateur dépend de la métrique.

Les mêmes développements peuvent être faits en assimilant l'expérience précédente à un train

qui se déplace avec une accélération constante g. L'observateur A se trouve dans le

compartiment arrière (équivalent au sol de la Terre dans l'expérience précédente) et envoie une

onde à son collègue B situé à l'avant du train (à une distance h).

L'observateur B reçoit l'onde après un temps . Durant ce laps de temps, le train a

accéléré, et sa vitesse a augmenté d'une valeur . Par conséquent, l'onde

perçue par B sera altérée par l'effet Doppler conventionnel (cf. chapitre de Mécanique

Ondulatoire) :

(50.44)

Nous retrouvons le résultat initial de l'effet Einstein en écrivant simplement :

(50.45)

ce qui donne glorieusement :

(50.46)

Nous retrouvons plus souvent cette relation sous la forme ci-dessous dans la littérature en

utilisant les relations entre pulsation et fréquence et la force de gravitation de Newton pour

expliciter g et en posant h comme valant 1:

(50.47)

Nous retrouvons également cette dernière relations sous la forme condensée suivante:

(50.48)

Le même résultat peut être obtenu en utilisant la métrique de Schwarzschild (voir plus loin) d'où

le nom de cet effet qui peut aussi être obtenu à partir des outils de la relativité générale

d'Einstein. Nous démontrerons simplement plus tard à l'aide de cette métrique que le temps

s'écoule effectivement moins vite dans un champ gravitationnel (hypothèse que nous avons

faite quelques paragraphes plus haut).

Nous voyons dans tous les cas que puisque le terme de droite est positif et non nul.

Cela signifie simplement que l'onde électromagnétique en analogie au spectre des couleurs se

décale vers le rouge. Ainsi, l'effet Einstein est bien un redshift gravitationnel.

La différence de fréquence est très faible et par conséquent difficilement mesurable même avec

les meilleurs spectroscopes. La moindre perturbation peut totalement masquer l'effet Einstein.

Il faudra véritablement attendre 1960 pour que l'expérience de Pound et Rebka permette de

mesurer un décalage de fréquences avec une précision de 1% ne laissant dès lors plus aucun

doute quant à la réalité du phénomène.

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