Notes sur les métriques, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez10 January 2014

Notes sur les métriques, Notes de Astronomie. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes d'astronomie sur les métriques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'analogie, l'équation métrique, les exemples, le "tenseur métrique d'espace-temps", le critère de Shild.
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Einstein supposa donc que la gravitation n'était que la manifestation de déformations de

l'espace-temps. Pour tenter d'illustrer de façon simpliste mais très imagée l'idée d'Einstein,

considérons une roue dentée roulant à vitesse constante (disons une dent à la seconde) sur une

crémaillère. Imaginons que nous ayons le pouvoir de modifier simultanément le pas de la

crémaillère et celui de la roue quand et où nous le désirons. Faisons alors en sorte que le pas

de la crémaillère augmente légèrement d'une dent à l'autre. Pour des observateurs fixes la roue

est alors animée d'un mouvement uniformément accéléré car, en effet, à chaque tour celle-ci

parcourt une distance toujours plus grande. En revanche, si l'on choisit la crémaillère comme

référentiel et le pas de celle-ci comme étalon de mesure, le mouvement de la roue est alors

uniforme (une dent par seconde). L'accélération de la roue est la conséquence de

l'augmentation du pas de la crémaillère.

Poursuivons l'analogie : le pas de la crémaillère joue le rôle d'étalon de mesure local dans notre

espace à une dimension que constitue la crémaillère. En géométrie, il porte le nom de

"métrique". La métrique est ce qui permet de déterminer la distance entre deux points, elle

représente en quelque sorte l'étalon infinitésimal d'un espace. En géométrie euclidienne la

métrique est une constante ce qui nous permet de créer des étalons de mesure universels.

Bernhard Riemann, inventa une géométrie où la métrique peut varier d'un point à un autre de

l'espace, ce qui lui permit de décrire des espaces courbes comme la surface d'une sphère par

exemple (cf. chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

Lors de notre étude du calcul tensoriel, des géométries non-euclidiennes et de la géométrie

différentielle, nous avons vu que la mesure de la distance ds entre deux points positionnés

dans un espace à deux ou trois dimensions peut s'effectuer au moyen d'un grand nombre de

système de coordonnées par "l'équation métrique" (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) :

(50.6)

Exemples:

E1. Les coordonnées rectangulaires (dans ) :

(50.7)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf.

chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E2. Les coordonnées polaires (dans ) :

(50.8)

d'où:

(50.9)

d'où:

(50.10)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf.

chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E3. Les coordonnées cylindriques pour lesquelles nous avons :

(50.11)

à remplacer dans nous obtenons de façon quasiment identique à

précédemment:

(50.12)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace plat (cf.

chapitre de Géométries Non-Euclidiennes).

E4. Les coordonnées sphériques (dans ) pour lesquelles nous avons :

(50.13)

à remplacer dans nous obtenons :

(50.14)

Petit rappel préalable:

(50.15)

Donc:

(50.16)

Après une première série de mise en commun et de simplifications élémentaires des termes

identiques, nous obtenons:

(50.17)

Si la distance au carré satisfait à cette relation alors nous sommes dans un espace courbe (de

type sphérique) mais qui localement peut être plat (cf. chapitre de Géométries Non-

Euclidiennes).

Jusque là, vous vous demandez peut-être où nous voulons en venir. Au fait, nous cherchons à

définir à partir des ces relations, un être mathématique qui en concordance avec l'hypothèse

d'Einstein, exprime les propriétés géométriques d'espaces donnés.

Comment allons-nous faire? : Nous allons d'abord changer d'écriture tout simplement. Au lieu

d'utiliser les symboles nous allons écrire . Attention! Les chiffres en

suffixes ne sont pas des puissances. Ce sont des valeurs muettes qui sont là uniquement pour

symboliser la x-ème coordonnée d'un repère donné.

Ecrivons maintenant à nouveau nos équations métriques avec cette nouvelle notation :

- Coordonnées rectangulaires:

(50.18)

- Coordonnées polaires:

(50.19)

- Coordonnées cylindriques:

(50.20)

- Coordonnées sphériques:

(50.21)

Maintenant rappelons encore une fois que le "tenseur métrique" (nommé ainsi car il étalonne

l'espace-temps) noté :

(50.22)

intervient dans l'équation métrique de la manière suivante :

(50.23)

et remarquez que les composantes de la matrice sont sans dimensions aussi.

Cet être mathématique qui est un tenseur contient donc les paramètres de la courbure (nous

disons parfois aussi de la "contrainte" ou de la "tension") dans lequel un espace se trouve. Mais

alors que contient le tenseur métrique d'espace-temps pour un espace euclidien plat?:

Selon la convention d'écriture de sommation d'Einstein (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) par

exemple, pour nous avons:

(50.24)

Donc si nous revenons à notre tenseur pour l'espace euclidien plat nous savons déjà (cf.

chapitre de Calcul Tensoriel) que m et n vont de 1 à 3 et que nous avons dans notre

tenseur pour et pour (tenseur symétrique). Donc:

(50.25)

Ainsi :

(50.26)

Ce résultat est remarquable car le tenseur métrique va nous permettre donc de définir les

propriétés d'un espace à partir d'un simple être mathématique facilement manipulable

formellement.

En coordonnées polaires le tenseur s'écrit:

(50.27)

Vérification:

(50.28)

En coordonnées cylindriques le tenseur s'écrit:

(50.29)

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En coordonnées sphériques le tenseur est un peu plus complexe et s'écrit:

(50.30)

La vérification ne se fait même plus tellement le résultant est évident.

En relativité restreinte, nous avons vu que les notions d'espace et de temps étaient

implicitement liées. Ainsi, pour étudier la physique (cela intéresse peu le mathématicien), nous

avons besoin d'ajouter à notre tenseur métrique la composante du temps pour obtenir ce que

nous appelons le "tenseur métrique d'espace-temps".

Pour déterminer l'écriture de ce tenseur, nous allons nous placer dans un premier temps dans

un espace de Minkowski où nous avions rappelons-le (cf. chapitre de Relativité Restreinte) :

(50.31)

qui est donc l'intervalle infinitésimal d'espace-temps entre deux événements infiniments voisins

(ou considérés comme tel à une certaine échelle...).

Ainsi, en posant:

(50.32)

Nous avons:

(50.33)

avec la "signature" :

(50.34)

Remarque: Pour tous les tenseurs métriques que nous avons déterminés avant, si nous les

exprimons dans l'espace-temps (donc en rajoutant le temps), les composantes spatiales ont toutes

un signe négatif!

Nous verrons par la suite d'autres métriques beaucoup moins intuitives une fois que nous

aurons démontré bien plus loin l'équation d'Einstein des champs.

CRITÈRE DE SCHILD

Nous allons maintenant voir que pour étudier la gravitation, la géométrie courbe est nécessaire

après quoi (il nous faudra démontrer l'équation des géodésiques avant!) nous montrerons

qu'elle est également suffisante. Nous verrons que la gravitation telle qu'elle est formulée en

mécanique newtonienne est entièrement descriptible à partir d'une formulation de courbure de

l'espace-temps.

Imaginons d'abord une tour d'une très grande hauteur h construite à la surface de la Terre. Un

homme A se trouve au pied de la tour, et envoie un signal de pulsation à son

collègue B situé en haut de la tour. Il se trouve, et nous allons de suite le démontrer, que la

pulsation de l'onde reçue par B diffère de selon:

(50.35)

où:

(50.36)

Ce décalage des pulsations (respectivement fréquences) dans un champ gravitationnel est ce

que nous appelons "l'effet Einstein", ou encore "redshift gravitationnel".

Nous allons démontrer cette relation à l'aide d'arguments classiques et connus maintenant.

Un corps matériel envoyé du sol vers le ciel doit lutter contre la force de gravitation qui l'attire

vers le bas. Il perdra donc une certaine quantité d'énergie, équivalent à l'énergie potentielle

gravitationnelle gagnée durant le trajet. L'énergie du corps au niveau du sol est donc son

énergie de masse à laquelle s'ajoute l'énergie potentielle à la hauteur de la tour :

(50.37)

L'énergie de ce corps une fois arrivé en haut de la tour est simplement son énergie de masse :

(50.38)

car il a dû dépenser la quantité d'énergie mgh durant le trajet. Le rapport des énergies est alors

:

(50.39)

Ce rapport étant indépendant de la masse, on peut prendre la limite afin d'avoir la

relation pour le photon. Nous obtenons alors :

(50.40)

ce qui implique:

(50.41)

Nous allons maintenant étudier ce phénomène dans le cadre de l'espace-temps de Minkowski.

Nous verrons apparaître une contradiction, ce qui motivera le passage vers un espace-temps de

courbe : c'est l'argument en faveur d'une géométrie courbe qui a été utilisé par Schild.

Considérons à nouveau le schéma d'expérience de l'homme A qui envoie une onde vers son

ami B. Soit le temps mis par A pour émettre exactement 1 cycle de l'onde (cf. chapitre de

Mécanique Ondulatoire) :

(50.42)

et le temps mis par B pour recevoir ce cycle :

(50.43)

A cause de l'effet Einstein, nous savons que et donc en temps propre ! Soit

en le temps passe plus lentement pour quelqu'un au sol (A) qu'une autre personne en haute

d'une montagne (B)!

Mais comme nous sommes en géométrie plate et que le champ gravitationnel est supposé

statique, nous en déduisons que les trajectoires d'espace-temps décrites par les signaux

doivent être parallèles. Ceci mène à la conclusion que l'intervalle de temps propre

serait (selon la relativité restreinte).

Si nous optons pour un espace courbe, nous pouvons préserver la relation , c'est-à-

dire le fait que le temps avance plus lentement pour A que pour B. Ceci se traduit simplement

par le fait qu'en géométrie courbe, le temps propre (!) d'un observateur dépend de la métrique.

Les mêmes développements peuvent être faits en assimilant l'expérience précédente à un train

qui se déplace avec une accélération constante g. L'observateur A se trouve dans le

compartiment arrière (équivalent au sol de la Terre dans l'expérience précédente) et envoie une

onde à son collègue B situé à l'avant du train (à une distance h).

L'observateur B reçoit l'onde après un temps . Durant ce laps de temps, le train a

accéléré, et sa vitesse a augmenté d'une valeur . Par conséquent, l'onde

perçue par B sera altérée par l'effet Doppler conventionnel (cf. chapitre de Mécanique

Ondulatoire) :

(50.44)

Nous retrouvons le résultat initial de l'effet Einstein en écrivant simplement :

(50.45)

ce qui donne glorieusement :

(50.46)

Nous retrouvons plus souvent cette relation sous la forme ci-dessous dans la littérature en

utilisant les relations entre pulsation et fréquence et la force de gravitation de Newton pour

expliciter g et en posant h comme valant 1:

(50.47)

Nous retrouvons également cette dernière relations sous la forme condensée suivante:

(50.48)

Le même résultat peut être obtenu en utilisant la métrique de Schwarzschild (voir plus loin) d'où

le nom de cet effet qui peut aussi être obtenu à partir des outils de la relativité générale

d'Einstein. Nous démontrerons simplement plus tard à l'aide de cette métrique que le temps

s'écoule effectivement moins vite dans un champ gravitationnel (hypothèse que nous avons

faite quelques paragraphes plus haut).

Nous voyons dans tous les cas que puisque le terme de droite est positif et non nul.

Cela signifie simplement que l'onde électromagnétique en analogie au spectre des couleurs se

décale vers le rouge. Ainsi, l'effet Einstein est bien un redshift gravitationnel.

La différence de fréquence est très faible et par conséquent difficilement mesurable même avec

les meilleurs spectroscopes. La moindre perturbation peut totalement masquer l'effet Einstein.

Il faudra véritablement attendre 1960 pour que l'expérience de Pound et Rebka permette de

mesurer un décalage de fréquences avec une précision de 1% ne laissant dès lors plus aucun

doute quant à la réalité du phénomène.

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