Notes sur les modes de vibration dans un fil tendu - 1° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les modes de vibration dans un fil tendu - 1° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les modes de vibration dans un fil tendu - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les approximations, les équations, les conditions de dirichlet.
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MODES DE VIBRATION TRANSVERSAL DANS UN FIL TENDU

Nous avons vu comment une onde peut progresser dans une corde. Montrons maintenant pourquoi

c'est possible et établissons la relation y(x,t), donnant la forme de la corde en fonction du temps.

Soit un fil de diamètre , longueur L et masse m, la masse linéique du fil (supposée constante le

long de celui-ci) est alors :

(31.36)

Par un léger choc, créons une petite perturbation (afin de ne pas déformer le câble et maintenir

constant sa masse linéique) transversale. Isolons, dans la zone perturbée, un élément de fil, de

longueur .

Approximations :

A1. Chaque élément de la corde peut être découpé de façon infinitésimale de façon à être presque

parallèle à l'axex. Les angles sont donc considérés comme petits

A2. La corde est considérée comme déformable mais non allongeable donc la norme des forces dans

la corde est constante en tout point quelque soit la déformation.

Pour la suite du raisonnement, nous nous servons de la figure ci-dessous :

(31.37)

Si les angles sont petits, le bilan des forces donne :

(31.38)

ce qui signifie qu'il n'y pas de déplacements selon x :

(31.39)

Si les angles sont vraiment petits, nous avons le premier terme du développement qui donne :

(31.40)

Donc :

(31.41)

accélération selon y.

La loi de Newton appliquée à la masse donne (nous considérons que chaque point de

masse se déplace seulement selon y car il n'y a pas allongement) :

(31.42)

Les tangentes sont données par les dérivées partielles de la fonction y(x) :

(31.43)

Qui s'égalise avec l'avant-dernière relation :

(31.44)

et donc :

(31.45)

Si , les deux tangentes tendent vers la même valeur, mais la fraction du membre de droite

tend vers une valeur finie :

(31.46)

Il en résulte l'équation différentielle :

(31.47)

Cette dernière relation s'écrit plus souvent sous la forme suivante :

(31.48)

et se nomme "équation des cordes vibrantes".

Remarque: Dans certains ouvrages, la densité linéique est notée et la force de tension dans la

corde ce qui donne :

(31.49)

Si nous vérifions les unités de sont celles du carré d'une vitesse , comme l'exige

l'analyse dimensionnelle. Pour simplifier l'écriture, nous posons :

(31.50)

Nous allons maintenant considérer un cas particulier très intéressant dans le cadre de la musicologie

qui est celui de la corde tendue (la plupart des instruments à corde fonctionnant ainsi).

CONDITIONS DE DIRICHLET

L'objectif est dans le cadre de l'équation différentielle obtenue précédemment (petites déformations

dans les cadres des instruments de musique) de trouver une fonction y(x,t) solution de cette

dernière avec les conditions initiales suivantes, typiques à un instrument de musique :

C.I.1. (les extrémités A et B sont fixes - il s'agit des "conditions de Dirichlet")

C.I.2. (forme initiale du fil à l'excitation)

C.I.3. (vitesse initiale nulle en tout point)

Les deux dernières conditions sont appelées "conditions de Cauchy".

Pour résoudre cette équation différentielle linéaire, nous allons faire usage de la méthode de

séparation de variables en posant :

(31.51)

L'équation différentielle devient dès lors :

(31.52)

Le membre de gauche de la dernière relation ne contient pas la variable t et celui de droite ne

contient pas la variable x. La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions est de les

considérer chacune comme constante, que nous noterons :

(31.53)

Ainsi, nous avons deux équations différentielles :

et (31.54)

Ces deux équations étant similaires, résolvons-les de manière générale (cf. la chapitre de Calcul

Différentiel Et Intégral) :

avec (31.55)

L'équation caractéristique est donc :

(31.56)

d'où :

(31.57)

Nous savons que la solution générale si les racines de l'équation caractéristique sont complexes, est

de la forme :

(31.58)

Pour nos deux équations différentielles, nous avons donc par similitude :

et (31.59)

Cela donne pour la solution de notre équation d'onde :

(31.60)

Déterminons les constantes en tenant compte des conditions initiales.

(31.61)

Il ne reste que :

(31.62)

Posons :

(31.63)

La condition initiale impose :

(31.64)

Pour tenir compte de la vitesse initiale nulle, dérivons par rapport au temps :

(31.65)

Il ne reste :

(31.66)

La constante b représente donc l'amplitude du déplacement transversal du fil. Cette amplitude ne

pouvant être la même partout en un temps donné et un position donné pour tout type d'excitation

satisfaisant les conditions initiales, il doit existe autant de valeur que nous choisissons de

valeurs n dans .

Le principe de superposition des solutions des équations différentielles linéaires (cf. chapitre de

Calcul Différentiel Et Intégral) permet d'écrire que la combinaison linéaire de toutes les solutions

pour la corde est finalement :

(31.67)

Les doivent être choisis de manière à satisfaire la condition initiale qui donne la forme de la

perturbation :

(31.68)

Cette expression pour f(x) suggère de la comparer au développement en série de Fourier (cf.

chapitre des Suites Et Séries):

(31.69)

Dans laquelle et . Le théorème de Fourier impose alors que les sont donnés

par :

(31.70)

Imaginons maintenant une corde de longueur L fixée en ses extrémités et tendue. Choisissons la

perturbation la plus simple possible : nous grattons la corde en son milieu de manière très sec, pour

l'écarter d'une petite distance H de sa position d'équilibre.

La perturbation initiale y(x,0) est alors :

pour et pour (31.71)

Calculons les coefficients de Fourier :

(31.72)

L'intégration par parties (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) donne :

(31.73)

La fonction d'onde devient :

(31.74)

À cause du , les termes pour lesquels n est pair sont tous nuls. Il reste :

(31.75)

Si nous retenons que le terme en n=1, nous aurions :

(31.76)

Nous avons :

(31.77)

qui est le nombre d'onde correspondant à une longueur d'onde :

(31.78)

et :

(31.79)

qui serait la fréquence de vibration du fil de la première harmonique.

Ainsi, pour une valeur n quelconque, il est facile de démontrer que le n-ème "mode propre" est

donnée par :

(31.80)

avec :

(31.81)

relations appelées "lois de Mersenne" (1644-1648).

où le mode de plus basse fréquence avec n valant 1 est appelé le "mode fondamental" associée à sa

"fréquence fondamentale".

Ainsi, après avoir été gratté sec au milieu de sa longueur L, un fil maintenu rigidement à ses deux

extrémités peut osciller suivant plusieurs modes. Le mode fondamental (harmonique

fondamentale) correspond à la plus petite fréquence possible. Il lui correspond la longueur

d'onde .

Les fréquences d'ordre n supérieures sont appelées "fréquences harmoniques". Pour un même

déplacement initial H, l'amplitude maximale de la vibration diminue selon comme nous le voyons

dans l'expression de notre fonction.

Une autre manière d'exciter la corde est de la faire osciller de manière sinusoïdale, ce qui signifie

dès lors que y(x,t) est de la forme :

(31.82)

En substituant cette relation dans l'équation d'onde de la corde, nous obtenons :

(31.83)

La solution se réduit alors à :

ou (31.84)

La valeur n=0 ne peut pas être incluse car elle donne une corde sans excitation. En mettant cette

fonction dans l'équation d'onde précédente et en simplifiant, nous obtenons trivialement :

(31.85)

Ce sont les "fréquences d'oscillations de Dirichlet" pour une corde. Les cordes d'un violon par

exemple sont des cordes de Dirichlet.

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