Notes sur les modes de vibration dans un fil tendu - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les modes de vibration dans un fil tendu - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les modes de vibration dans un fil tendu - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les conditions de Neumann, lagrangien d'une corde.
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(31.86)

Les mêmes analogies, raisonnements et développements pourront être faits avec les conditions de

Neumann ci-dessous .

Remarques:

R1. La théorie prédit que la vibration peut être une combinaison linéaire de plusieurs modes. Ce

phénomène porte le nom de "vibration simultanée". Il se produit abondamment dans un piano.

R2. Les instruments de musique sont conçus pour émettre des sons à des fréquences

conventionnelles, étant admis que la hauteur d'une note perçue par l'oreille est définie par la

fréquence fondamental, par exemple le : Do (264 Hertz), La (440 Hertz)

R3. Lors de la construction de l'instrument, nous décidons de la valeur de (en choisissant le

diamètre et de la nature de la corde) et nous déterminons la longueur L en cherchant le

compromis entre l'intensité sonore que nous voulons émettre et la résistance mécanique de

l'instrument qui doit supporter les forces F de tension.

CONDITIONS DE NEUMANN

Alternativement aux conditions de Dirichlet où les extrémités sont fixes et à hauteur égales, les

conditions de Neumann supposent que les extrémités sont de petites boucles autorisées à glisser le

long de deux barres sans frottements.

Pour notre corde, les conditions de Neumann spécifient les valeurs aux extrémités. Mais tant

que les boucles sont supposées sans masse et sans frottements, la dérivée doit s'annuler

aux extrémités . Si tel n'était pas le cas, alors de par la nullité de la masse de l'extrémité, le

changement de vitesse sera du à une accélération infinie, ce qui ne peut être autorisé ! C'est ainsi

que nous imposons au lieu de la condition de Dirichlet, la condition de Neumann définie par :

C.I.1.

les conditions C.I.2. et C.I.3. restant identiques.

Ce changement de condition n'empêche pas que la méthode de résolution par séparation de

variables est la même que précédemment et que nous tomberons identiquement sur la relation

suivant auquel il faudra appliquer la nouvelle condition initiale :

(31.87)

sur laquelle nous appliquons donc la condition de Neumann :

(31.88)

Il reste donc :

(31.89)

en posant la fonction se simplifie en :

(31.90)

La condition initiale, impose :

(31.91)

Les mêmes développements pour la C.I.2. que nous avions fait avec la C.I.1. de Dirichlet s'appliquent

ensuite de manière identique :

(31.92)

ensuite, l'analogie avec les séries de Fourier s'applique de manière similaire mais avec les cosinus au

lieu des sinus.

Les fréquences de Neumann d'une corde sont les mêmes que pour celle de Dirichlet soit :

(31.93)

La particularité réside cependant dans la valeur de la fonction spatiale qui vaut cette fois trivialement

:

ou (31.94)

Effectivement, pour n=0 nous avons cette fois une amplitude identique qui est transmise tout le

long de la corde sans que celle-ci ne vibre cependant !

Par ailleurs, faisons remarquer, que la fonction satisfait aussi pleinement les trois

conditions initiales incluant celle de Neumann.

Effectivement, nous avons bien :

(31.95)

et de plus, vérifie aussi l'équation d'onde :

(31.96)

LAGRANGIEN D'UNE CORDE

Nous allons maintenant déterminer le lagrangien d'une corde, calcul qui nous sera en partie utile lors

de l'étude de la théorie des cordes.

Nous gardons donc notre corde ayant une densité linéique et tension constante dont les extrémités

sont situées en et dont la vitesse de la perturbation transversale est non relativiste.

L'énergie cinétique est alors simplement la somme des énergies cinétiques de chaque élément

infinitésimal de la corde. Nous pouvons alors écrire en notation Lagrangienne :

(31.97)

L'énergie potentielle intervient dans l'élongation de la corde dont une portion infinitésimale peut être

vue comme variant de (x,0) à quand la corde est à l'équilibre. Quand une corde est

momentanément mise sous tension de (x, y) à alors la variation de la

longueur dld'un élément infinitésimal de la corde est donnée trivialement par :

(31.98)

Nous avons utilisé ci-dessus pour approximation le développement limité au deuxième terme en

série de Taylor (cf. chapitre sur les Suites Et Séries), qui nous donne :

(31.99)

Le travail effectué pour étirer chaque élément infinitésimal étant , l'énergie pontentielle totale

est alors exprimée par :

(31.100)

La lagrangien étant défini par (cf. chapitre de Mécanique Analytique), nous avons alors :

(31.101)

où est défini, très justement, comme étant la "densité lagrangienne" :

(31.102)

L'action pour notre corde est alors :

(31.103)

Dans cette action, le chemin d'action est la fonction y(x,t). Pour trouver les équations du mouvement,

nous devons examiner la variation de l'action quand nous varions :

(31.104)

Ce qui donne :

(31.105)

Car :

(31.106)

et ce identiquement pour le second terme.

Nous ne devons pas avoir de dérivées temporelles agissant sur les variations. Alors en utilisant la

relation triviale suivante sur le premier terme :

(31.107

)

et identiquement sur le deuxième, nous pouvons récrire l'action :

(31.108)

Comme nous l'avons vu en mécanique analytique, le bon chemin est donné par . Dès lors,

nous devons avoir :

(31.109)

Ainsi, notre expression contient trois termes. Chacun de ces trois termes doit s'annuler

indépendamment comme nous allons le voir :

1. L'annulation du troisième terme se fait selon une condition triviale qui nous est déjà bien connue

(heureusement...) :

(31.110)

et donc :

(31.111)

nous retrouvons donc l'équation différentielle d'une onde transversale telle que nous l'avions

démontré plus haut. Notre hypothèse sur le troisième terme ne peut donc être que juste ainsi que

l'expression de notre action.

2. Le premier terme est déterminé par la configuration de la corde aux temps :

(31.112)

Or, si nous imposons la connaissance de ces configurations dans le temps, nous aurons par

définition:

(31.113)

(connaissance totale du chemin d'action car connaissance des conditions initiales, donc pas de

variation). Cela valide encore une fois l'expression de notre action et la valeur nulle du terme comme

attendu.

3. Le second terme est un peu plus intéressant :

(31.114)

D'abord, ce n'est que parce que nous connaissons les positions des extrémités de la corde que nous

pouvons connaître ces modes de vibrations, nous le savons bien! Il nous faut donc savoir comment

se comportement les extrémités. Pour cela nous allons revenir sur des choses qui nous sont

connues: les conditions de Dirichlet et de Neumann d'une corde.

Supposons que nous imposions les conditions de Dirichlet (voir plus haut), les extrémités sont alors

fixes et nous aurons forcément à ces mêmes extrémités:

(31.115)

et donc le deuxième terme disparaît bien (ouf!).

Si, dans à l'opposé, nous choisissons que les extrémités se meuvent librement, alors les variations:

(31.116)

sont non contraintes et dès lors, seulement les conditions de Neumann:

(voir plus haut pour plus de détails) nous permettront d'avoir le deuxième terme de l'action nul.

Pour prendre pleinement conscience de l'importance des ces conditions initiales, considérons la

quantité de mouvement portée par la corde (il n'y pas d'autres composantes du mouvement car

nous avons supposé implicitement une excitation transversale dès le début seulement dans cette

direction y).

La quantité de mouvement est simplement la somme des quantités de mouvement de chaque

élément infinitésimal le long de la corde :

(31.117)

Vérifions juste par curiosité (c'est une curiosité anticipée...) si la quantité de mouvement est bien

conservée :

(31.118)

où nous avons utilisé l'équation d'onde transversale pour la substitution.

Nous voyons par le résultat de ce petit calcul que la quantité de mouvement est trivialement

conservée si nous imposons les conditions de Neumann, alors que pour les conditions de Dirichlet,

la plupart du temps la conservation n'est pas respectée! Effectivement, c'est trivial (il n'y pas besoin

de calculs pour s'en rendre compte), lorsque les extrémités sont attachées au mur, le mur exerce

constamment une force sur la corde.

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