Notes sur les modes de vibration dans une membrane tendue, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les modes de vibration dans une membrane tendue, Notes de Physique

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Notes de physique sur les modes de vibration dans une membrane tendue. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'analyse dimensionnelle, la méthode, les équations, les relations.
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MODES DE VIBRATION DANS UNE MEMBRANE TENDUE

Nous dérivons le phénomène de la même manière que la vibration transversale de la corde.

Toutefois, la masse linéique du fil doit être remplacée par la masse surfacique de la

membrane.

De plus, nous remplaçons la force F de tension unidirectionnelle du fil par une force de tension

appliquée sur le pourtour de la membrane. Cette force s'exerce dans toutes les directions du plan et

se décrit par unité de longueur :

(31.119)

Nous avons (analyse dimensionnelle) :

(31.120)

Il est d'abord évident que :

(31.121)

et comme :

(31.12

2)

L'analyse dimensionnelle (eh oui ... à nouveau...) donne :

(31.123)

Nous avons donc :

(31.124)

L'analyse dimensionnelle donne :

(31.125)

Donc finalement nous obtenons pour équation d'onde en coordonnées cartésiennes (exprimé avec le

laplacien) :

(31.126)

Nous cherchons la solution particulière de cette équation qui vérifie les conditions suivantes :

C.I.1. La membrane est fixée sur son pourtour R (conditions aux limites)

C.I.2. La position et la vitesse initiales sont données (conditions initiales)

La symétrie du problème suggère d'utiliser le laplacien en coordonnées polaires (cf. chapitre de

Calcul Vectoriel) :

(31.127)

Remarque: Nous avons changé de notation en posant

Et les conditions fixées :

C1. (conditions aux limites)

C2. (conditions initiales)

où les fonctions sont données.

Á nouveau, pour chercher la solution, nous allons utiliser la méthode de séparation des variables tel

que :

(31.128)

et de même que pour la corde :

(31.129)

et identiquement que pour la corde, nous obtenons pour T une solution du type :

(31.130)

Pour la méthode change car nous avons maintenant une équation différentielle à deux

variables tel que :

(31.131)

Pour intégrer cette équation, nous cherchons les solutions de la forme , nous

obtenons en reportant :

(31.132)

En se rappelant qu'en coordonnes polaires :

(31.133)

D'où, en séparant les variables :

(31.134)

Le membre de gauche de la dernière relation ne contient pas la variable r et celui de droite ne

contient pas la variable . La seule et unique façon d'égaler ces deux expressions est de les

considérer chacune comme constante, que nous noterons . Les équations différentielles vérifiées

par R et sont alors :

(31.135)

La fonction est périodique de période , il existe donc un entier naturel n tel que et

donc manière identique à la corde, nous obtenons :

(31.136)

Dans la première équation différentielle :

(31.137)

Pour simplifier, nous effectuons le changement de variable . L'équation différentielle devient :

(31.138)

Nous reconnaissons ici l'équation différentielle de Bessel d'ordre n telle que nous l'avons avec sa

solution présentée dans le chapitre des Suites Et Séries. Dès lors, la solution générale est du type :

(31.139)

Ce qui nous donne finalement :

(31.140)

Parmi les solutions à cette équation, cherchons celles qui vérifient les conditions aux limites en

posant :

(31.141)

À moins que ou T soit la fonction nulle, ce qui donne pour solution la position d'équilibre... (qui

ne vérifie sans doute pas les conditions initiales), nous devons avoir , c'est-à-dire :

(31.142)

La fonction Bessel d'ordre a une infinité de zéros positifs (il suffit de tracer cette

fonction avec un ordinateur pour le voir tel qu'avec Maple en mettant la commande :

plot(BesselJ(2,x),x=0...100) où vous pouvez changer la valeur 2 par une autre valeure) qui

fournissent une infinité de valeurs convenables de b telle que :

(31.143)

Ce qui correspond finalement à une infinité de solutions de l'équation différentielle initiale que nous

pouvons écrire :

(31.144)

En ayant modifié le nom des constantes d'intégration en ayant posé (ce qui vérifie

l'analyse dimensionnelle). Maintenant que cette solution satisfait les conditions aux limites, nous

devons nous attaquer aux conditions initiales.

D'abord pour les mêmes raisons que la corde, la solution finale est la superposition linéaire des

solutions telle que :

(31.145)

Nous allons déterminer les coefficients de façon à ce que la solution y donné

précédemment vérifie également les conditions initiales, à savoir :

(31.146)

Ces deux relations sont similaires, étudions la première. Elle peut s'écrire :

(31.147)

qui est le développement en série de Fourier de la fonction . Nous avons donc (cf. chapitre

sur les Suites Et Séries) :

(31.148)

En utilisant l'orthogonalité des fonctions de Bessel nous pouvons déduire de ces relations les

coefficients (et de même pour les autres).

Pour cela, supposons n fixé et posons . Montrons où le

produit scalaire est défini par :

(31.149)

Puisque vérifient l'équation différentielle en R(r), nous avons :

(31.150)

En combinant ces deux relations nous obtenons :

(31.151)

En intégrant membre à membre entre 0 et L et en tenant compte de :

et (31.152)

Nous obtenons :

(31.153)

D'où le résultat énoncé puisque .

La relation :

(31.154)

Peut donc s'écrire :

(31.155)

Utilisant l'orthogonalité de pour nous en déduisons :

(31.156)

Les coefficients sont donc donnés par :

(31.157)

Ce qui n'est pas aisé à calculer à la main....

Nous procédons de la même façon pour les autres coefficients.

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