Notes sur les mouvements oscillatoires - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les mouvements oscillatoires - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les mouvements oscillatoires - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la pendule conique, la pendule de torsion, la pendule de Foucault.
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(30.87)

L'équation différentielle de l'oscillateur harmonique peut donc s'écrire:

(30.88)

Nous prendrons la démarche très simple qui consiste à essayer une solution, en l'occurrence:

(30.89)

C'est une solution, car en effet:

(30.90)

pour autant que nous prenions la fréquence propre:

(30.91)

Nous avons aussi le "mode propre":

(30.92)

comme solution.

Une solution générale est donc:

(30.93)

Pour trouver A et B, il faut spécifier les conditions initiales. Prenons par exemple:

(30.94)

à .

Nous avons alors:

(30.95)

Calculons maintenant le travail (énergie) nécessaire pour déformer l'oscillateur harmonique. Nous

avons :

(30.96)

Ainsi, l'énergie potentielle élastique dans un ressort de constante k, ayant subi une

déformation x est donc donnée par :

(30.97)

Pour une description plus réaliste, une meilleure modélisation, nous allons supposer que l'oscillateur

est soumis à une force supplémentaire représentant les frottements. Il arrive souvent que

l'approximation par laquelle la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, et opposée à la

vitesse, soit une bonne approximation. Ce n'est pas la seule possible, et ce n'est pas toujours la

meilleure. Nous parlerons des forces de frottement plus tard.

Ainsi nous considérons une force de friction de la forme (ne pas confondre avec la notation du

moment cinétique qui n'a absolument aucun rapport):

(30.98)

Pour notre système de coordonnées:

(30.99)

La deuxième loi de Newton impose:

(30.100)

Pour se conformer à une notation usuelle dans le cadre de l'oscillateur, nous notons:

(30.101)

d'où l'équation différentielle:

(30.102)

Nous prenons la fonction d'essai:

(30.103)

En substituant, nous trouvons:

(30.104)

Comme nous cherchons des solutions non nulles ( ) il faut que:

(30.105)

d'où:

(30.106)

et la solution générale est:

(30.107)

où deux constantes sont déterminées par les conditions initiales.

Nous verrons qu'il correspond à un amortissement faible. En effet, nous pouvons écrire avec des

racines carrées réelles:

(30.108)

et la solution générale peut alors s'écrire:

(30.109)

En utilisant les propriétés complexes des exponentielles et en particulier la "formule d'Euler" (cf.

chapitre sur les Nombres) :

(30.110)

Choisissons et rappelons que (cf. chapitre de Trigonométrie). Ainsi :

(30.111)

et comme nous avons aussi . Alors :

(30.112)

posons et comme la fonction trigonométrique est périodique

à avec alors :

(30.113)

L'allure générale de la normalisée à l'unité est la suivante:

(30.114)

Quand nous disons qu'il y a "amortissement critique", quand , qu'il y a

"amortissement sur-critique".

Le rapport :

(30.115)

est quant à lui appelé "facteur de qualité".

PENDULE CONIQUE

Le pendule conique consiste à prendre une masse m considérée comme ponctuelle et suspendue

enA d'un fil fixé en O.

La masse étant écartée d'un angle de la verticale, l'objectif de ce pendue est fréquemment (car

c'est le cas le plus simple) de déterminer la dépendance entre l'angle et la vitesse si l'on considère

que les trajectoires sont circulaires.

(30.116)

La masse m se déplace autour de la verticale OC, en décrivant un cercle de rayon:

(30.117)

Les forces suivantes agissent sur la masse m:

(30.118)

D'après la figure, nous voyons que:

(30.119)

ou, comme:

(30.120)

alors:

(30.121)

L'angle est donc d'autant plus grand que la vitesse angulaire est élevée, ce que confirme

l'expérience. Pour cette raison, le pendule conique fut longtemps utilisé comme régulateur de vitesse

sur les machines à vapeur (il ferme l'arrivée de vapeur quand la vitesse dépasse une limite fixée à

l'avance et l'ouvre quand elle tombe au-dessous de cette valeur).

Nous avons aussi:

(30.122)

d'où après simplification:

(30.123)

PENDULE DE TORSION

Le pendule de torsion est un système qui fut utilisé par Coulomb pour mesure de la charge

électrique élémentaire et par Cavendish pour la mesure de la constante gravitationnelle G.

Le pendule de torsions consiste en un solide rigide suspendu à fil de torsion vertical. Lors des

oscillations le fil exerce un moment de rappel que l'on supposera proportionnel à l'angle de

torsion :

(30.124)

où k est la "constante de torsion" de ce fil particulier (cf. chapitre de Génie Mécanique).

Nous avons donc:

(30.125)

soit l'équation différentielle:

(30.126)

Par analogie avec le pendule physique où nous avions une équation différentielle identique à un

facteur près, il vient:

(30.127)

PENDULE DE FOUCAULT

Le pendule de Foucault est une expérience formidable pour rendre compte de la rotation de la Terre.

Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour analyser le comportement du pendule de Foucault.

Nous avons choisi de présenter la plus simple qui ne nécessite que peu de pages de calcul.

D'abord un petit texte explicatif peut s'avérer pertinent tellement cette expérience est importante.

L'expérience de Foucault a pour but de démontrer que la Terre tourne sur elle-même. Vous lancez

un balancier (ne bille de plomb au bout d'un fil). Il a un mouvement de va-et-vient régulier dans la

même direction. Si vous l'emportez dans une voiture et que vous ne tournez pas trop brusquement,

le pendule se moque des virages : il continue à battre dans la même direction. C'est qu'un pendule

reste toujours dans le même plan, malgré les mouvements de son support.

C'est pourquoi le physicien français Léon Foucault eut l'idée d'attacher un lourd balancier de 67

mètres de long sous le dôme du Panthéon, en présence de Napoléon III et de quelques savants. A

chacune de ses allées et venues, le pendule venait écorner un tas de sable où il laissait une marque.

Or, la trace n'était jamais à la même place: il y avait 3 à 4 millimètres d'écart entre un balancement et

le suivant, 16 secondes plus tard. Le pendule restait dans le même plan, mais le Panthéon, Paris, la

Terre tournaient!

Soit la figure ci-dessous:

(30.128)

Nous considérons que c'est la vue d'un référentiel géocentrique (la Terre) vu en coupe selon un plan

qui contient l'axe de rotation.

La taille du pendule est bien évidemment exagérée sur la figure. Il oscille cependant quand même

dans un plan méridien, entre A et B (un observateur terrestre voit la droite AB tourner par rapport au

sol terrestre selon le cercle vert, vu en perspective, dans le sens rétrograde).

Soit T la période de rotation de A (ou B).

La vitesse de A ( ) , sur ce cercle, est due au fait que, dans le référentiel géocentrique, le point M, à

la verticale du point de suspension, et le point du sol Terrestre coïncidant avec A à un instant donné,

n'ont pas la même vitesse dans le référentiel géocentrique: le point M étant plus éloigné de l'axe de

rotation Terrestre: la distance MM' étant plus grande que B (de même la vitesse de B étant supérieure

à la vitesse de M).

La différence de ces vitesses se calcule aisément en supposant que la rotation terrestre est uniforme

en raisonnant sur une période d'une journée (sidérale) .

Nous savons que:

(30.129)

De ceci il découle facilement que:

(30.130)

étant donné que dans le triangle AHM :

(30.131)

alors:

(30.132)

Or, n'est autre que:

(30.133)

Donc:

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