Notes sur les mouvements oscillatoires - 3° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les mouvements oscillatoires - 3° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les mouvements oscillatoires - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la pendule de huygens, les remarques.
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(30.134)

Nous avons donc obtenu l'expression de la période du pendule de Foucault.

Exemple:

La période du pendule du Panthéon (aller et retour) est de 16.5 secondes, l'amplitude maximale de 6

mètres et le temps d'amortissement de 6 heures. Nous pouvons ainsi observer un déplacement de

plusieurs millimètres par aller et retour du pendule.

Remarque: Le sens de la rotation est celui des aiguilles d'une montre, pour un observateur placé

au dessus du pendule, dans l'hémisphère Nord ; et dans le sens contraire du sens de rotation des

aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Sud.

Aux pôles (où l'angle est de 90° et le sinus unitaire), la période du pendule égale celle de la Terre et

est donc de 24h. A l'équateur (où l'angle est de 0° et le sinus nul), la période de rotation du plan

d'oscillation est infinie : le plan d'oscillation est fixe par rapport à la Terre. A Paris (où l'angle est de

48°52' et le sinus 0.75), la période de rotation est de 31 heures et 57 minutes.

Cependant, l'importance du pendule de Foucault est autre...

Le plan d'oscillation du pendule est en réalité fixe et c'est la rotation de la Terre sur elle-même qui

donne lieu à une rotation apparente. Mais finalement... que est le système de référence ?

En effet, tout mouvement est relatif. Si la Terre est en rotation, elle l'est par rapport à quelque chose.

Nous ne pouvons pas parler d'un mouvement sans définir un cadre de référence. La question qui se

pose donc est de savoir par rapport à quel système de référence le plan d'oscillation du pendule est

fixe.

La première idée qui vient à l'esprit consiste à dire que le plan du pendule est fixe par rapport au

Soleil. Mais, si Foucault avait réussi à construire un pendule capable d'osciller suffisamment

longtemps, disons pendant un mois, il se serait aperçu que le plan d'oscillation dérivait également

par rapport à la position du Soleil. Notre étoile ne fait donc pas partie du système de référence en

question.

Peut-être faut-il alors considérer les étoiles proches du Soleil ? Mais là aussi, si l'expérience pouvait

durer suffisamment longtemps, elle montrerait que le plan des oscillations se déplace nettement par

rapport aux étoiles après quelques années. Quel objet choisir dans ce cas ? Le centre galactique, la

galaxie d'Andromède, le Groupe Local, le superamas local ? Chacun de ces objets donnerait l'illusion

d'être fixe par rapport au plan des oscillations, mais finirait, après un temps de plus en plus long,

par révéler une dérive.

Finalement, en dernier recours, nous pouvons considérer les objets les plus lointains, les galaxies ou

quasars situés à des milliards d'années-lumière. Avec ce système de référence, et si l'expérience de

Foucault était réalisable, le plan des oscillations serait enfin fixe et il n'y aurait plus de dérive. Ce

n'est donc qu'en considérant les objets les plus lointains, en fait l'Univers observable dans son

ensemble, que nous pouvons obtenir un cadre par rapport auquel le plan des oscillations se

stabilise.

Le pendule de Foucault se moque donc de la présence de la Terre, du Soleil ou de la Galaxie. Son

mouvement lui est directement dicté par l'Univers dans son ensemble. Cette expérience met en

évidence une sorte de lien mystérieux entre chaque point et l'Univers tout entier. Jusqu'à nouvel

ordre, la nature de ce lien reste inconnue.

Une conclusion similaire fut tirée par le physicien autrichien Ernst Mach à la fin du XIXe siècle (nous

retrouverons le "principe de Mach" dans le chapitre de Relativité Restreinte).

D'après la physique de Newton, le produit de la masse d'un corps par son accélération est égal à la

force qui s'exerce sur lui. Par conséquent, pour une force donnée, plus un objet est massif, plus son

accélération est faible. De ce point de vue, la masse est donc une mesure de l'inertie du corps, c'est-

à-dire de sa faculté à résister à une force.

Supposons maintenant que toute la matière de l'Univers disparaisse, excepté pour ce corps. Ce

dernier est alors complètement isolé et plus aucune force ne s'exerce sur lui. Cela signifie, d'après la

physique de Newton, que le produit de sa masse par son accélération est égal à zéro. Or

l'accélération ne peut pas être nulle. En effet, comme toute la matière de l'Univers a disparu, il n'y a

plus de système de référence par rapport auquel on pourrait définir la vitesse ou l'accélération. Cette

dernière est donc indéfinie et non pas nulle. D'un point de vue mathématique, il ne reste qu'une

seule possibilité, que la masse du corps soit nulle.

Ce raisonnement montre que la masse et l'inertie d'un corps ne sont pas vraiment des propriétés de

l'objet lui-même, mais plutôt le résultat d'une interaction avec le reste de l'Univers. Tout comme le

pendule de Foucault, le principe de Mach nous montre qu'il doit exister une sorte de connexion

entre les propriétés locales d'un corps et les propriétés globales de l'Univers. Comme dans le cas

précédent, la nature de cette connexion mystérieuse reste à déterminer.

PENDULE DE HUYGENS

Nous cherchons à construire un pendule dont la période soit indépendante de l'amplitude. Pour cela

nous disposons deux lamelles de forme cycloïdale à des positions symétriques et déterminées telles

que représentées sur la figure ci-dessous:

(30.135)

Le choix de la cycloïde est du au fait qu'il s'agit d'une courbe "brachistochrone" (voir la définition

plus bas) et depuis les travaux de Huygens en 1659, nous savons aussi qu'il s'agit d'une courbe

"tautochrone" (les balanciers dans les montres modernes ont par tradition cette forme). C'est-à-dire

que les corps qui tombent dans une cycloïde renversée arrivent au point le plus bas dans le même

temps, de quelque hauteur qu'ils commencent à tomber.

Donc contrairement à une idée reçue, le chemin le plus rapide pour un corps en mouvement non

horizontal tombant sur un support solide n'est pas la ligne droite.

En effet, l'un des problèmes les plus connus de l'histoire des mathématiques est le problème du

brachistochrone qui consiste donc à trouver la courbe le long de laquelle une particule glisserait d'un

point à un autre en un minimum de temps en étant soumis à un champ uniforme de pesanteur. Ce

problème a été posé par Jean Bernoulli en 1696 comme un challenge pour les mathématiciens de

son époque (et s'en fut un !!!). La solution fut trouvée par Jean Bernoulli lui-même ainsi que par son

frère Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz et le marquis de l'Hospital. Le problème brachistochrone est

important dans le développement des mathématiques et s'avère être une des applications principales

de la méthode du calcul des variations.

Nous considérons dans le champ de la pesanteur deux points a et b et un point matériel m se

déplaçant sans frottement sur une courbe d'extrémités a et b. Déterminer la courbe, appelée

brachistochrone, pour laquelle le temps de parcours est minimal lorsque le point m part du

point avec une vitesse nulle.

Considérons le schéma ci-dessous:

(30.136)

A l'abscisse x sur le graphe, l'énergie potentielle perdue est , équivalente à l'énergie

cinétique acquise par le point matériel depuis le départ telle que:

(30.137)

D'où sans trop de surprises:

(30.138)

La vitesse v est mesurée le long de la courbe si bien que nous devons réécrire l'expression en

composantes horizontales et verticales:

Nous allons poser que s représente l'abscisse curviligne et ds l'accroissement de cette distance le

long de la courbe. dx et dy représentent les composantes horizontales et verticales de ds.

Ainsi:

- ds/dt représente la vitesse le long de la courbe

- dx/dt représente la composante x de la vitesse

- dx et dy sont données par le théorème de Pythagore exactement de la même façon que nous

l'avions fait dans notre cadre d'étude du formalisme lagrangien.

(30.139)

En insérant l'équation obtenue d'après les principes de la dynamique:

(30.140)

Une simple intégration nous donne alors l'expression de t à minimiser:

(30.141)

Nous nous retrouvons avec une fonction similaire à celle que nous avions lors de notre étude d'un

cas pratique du formalisme lagrangien.

Il s'agit maintenant de trouver le minimum atteint par t parmi toutes les fonctions y(x) satisfaisant:

(30.142)

Le problème fondamental dit du "calcul des variations" consiste à chercher, parmi les

fonctions continûment dérivables sur un intervalle donné [a,b] et pour lesquelles les

fonctions f(a) et f(b) sont des valeurs données, celles qui rendent maximum ou minimum l'intégrale

précédente.

Pour appliquer cette méthode, nous partons de l'équation d'Euler-Lagrange (cf. chapitre de

Mécanique Analytique) :

(30.143)

qui donne les extremums de l'intégrale.

Identiquement à ce que nous avons vu dans notre exemple dans le cadre de notre étude du

formalisme lagrangien (cf. chapitre de Mécanique Analytique) nous avons dans notre cas:

(30.144)

Donc:

(30.145)

En remplaçant dans l'équation différentielle d'Euler-Lagrange, nous trouvons:

(30.146)

ou autrement écrit:

(30.147)

Il faut donc résoudre cette équation différentielle pour trouver la fonction qui donne le chemin le

plus rapide.

Il existe une fonction paramétrique qui satisfait cette équation différentielle (dont je ne possède pas

la démonstration formelle mais uniquement avec Maple...). C'est l'équation paramétrique de la

cycloïde justement ! Donnée par:

(30.148)

En posant nous avons dans Maple:

>plot([theta-sin(theta),1-cos(theta),theta=0..6*Pi]);

(30.149)

Soit les dérivées:

(30.150)

Ainsi:

(30.151)

La conservation de l'énergie:

(30.152)

s'écrit donc:

(30.153)

d'où:

(30.154)

Donc le temps requis pour aller du haut au bas de la cycloïde que décrit le pendule de Huygens est :

(30.155)

Cette durée ne dépend donc que de paramètres fixes.

L'énoncé en 1696 du problème brachistochrone peut être considéré comme l'authentique acte de

naissance du calcul des variations, car c'est ce problème qui suscite la recherche de méthodes

générales progressivement élaborées au cours d'une véritable compétition.

Remarque: Une ligne brachistochrone d'une surface est une courbe sur laquelle doit glisser sans

frottement un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme de sorte que le

temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés. Autrement

dit, ce sont les lignes les plus courtes en temps, alors que les géodésiques (cf. chapitre de

Relativité Restreinte) sont les lignes les plus courtes en distance.

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