Notes sur les mouvements relatifs et les forces d'inertie - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les mouvements relatifs et les forces d'inertie - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les mouvements relatifs et les forces d'inertie - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le terme de Coriolis, la force de Coriolis, le théorèmes de könig: le premier théorème d...
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En supposant que la Terre est une sphère (en fait sa forme s'en écarte légèrement) et qu'il n'y a pas

d'anomalies locales, nous pouvons estimer que est dirigé vers le centre de la Terre. Le deuxième

terme étant l'accélération centrifuge elle est dirigée vers l'extérieur.

Puisque est la somme de et de l'accélération centrifuge, la direction de , appelée la

"direction verticale", s'écarte légèrement de la direction radiale; elle est expérimentalement

déterminée par un fil à plomb. Les liquides se maintiennent toujours en équilibre avec leur surface

perpendiculaire à .

L'ordre de grandeur de l'accélération centrifuge est:

(30.22)

où r est le rayon de la Terre. L'accélération centrifuge décroît de l'équateur aux pôles car le rayon de

la Terre n'est pas constante (la Terre est aplatie aux pôles). Cette variation de l'accélération est

toujours très petite quand nous la comparons avec la pesanteur mais elle

explique cependant la plupart des variations observées de la valeur de la pesanteur avec la latitude.

Le gradient de l'accélération centrifuge a pour effet de déplacer légèrement la direction radiale d'un

corps qui tombe en chute libre: le déplacement est vers le Sud dans l'hémisphère Nord et vers le

Nord dans l'hémisphère Sud.

Considérons ensuite le terme de Coriolis. Dans le cas de la chute d'un corps, la vitesse est dirigée

vers le bas. D'autre part, comme se trouve le long de l'axe de la Terre , est dirigé vers

l'Ouest. Le terme de Coriolis est donc dirigé vers l'Est; le corps qui tombe sera dévié

dans cette direction.

Pour un corps tombant dans un plan parallèle et tangent à la surface de la Terre, nous avons :

(30.23)

C'est exactement ce phénomène que l'on observe dans le cas des cyclones (nous y reviendrons plus

en détail dans notre étude de la météorologie dans le chapitre de Génie Météo). Une zone

atmosphérique dépressionnaire (de faible pression relative) donnerait des courants atmosphériques

(vents) convergents vers la dépression si la Terre ne tournait pas autour de son axe.

(30.24)

La force de Coriolis due à la rotation de la Terre dévie donc les vents Nord-Sud en direction de

l'Ouest et les vents Sud-Nord vers l'Est pour un observateur se situant au Pôle Nord. Nous observons

dès lors la formation de cyclones tournants dans le sens contraires des aiguilles d'une montre dans

l'hémisphère Nord et inversement dans l'hémisphère Sud (à cause de la direction du vecteur dans

cette partie de l'hémisphère).

Comme second exemple, considérons les oscillations d'un pendule. Pour des oscillations de faible

amplitude, nous pouvons supposer que le mouvement du pendule se fait selon une trajectoire

horizontale. Si l'on fait osciller le pendule initialement dans la direction Nord-Sud, la force de

Coriolis va dévier le mouvement du pendule vers la droite pour un observateur situé au Pôle Nord. En

d'autres termes, le pendule tourne dans le sens des aiguilles d'une montre dans l'hémisphère Nord

et dans le sens contraire dans l'hémisphère Sud. Cet effet observable est nul dans à l'équateur

(parallélisme parfait entre et ) et maximale aux Pôles.

Cet effet fut démontré de façon spectaculaire par le physicien français Jean Léon Foucault, quand en

1851 il suspendit un pendule de 67 mètres de long à l'intérieur du Dôme des Invalides. A chaque

oscillation, le pendule faisait tomber du sable sur un cercle, ce qui démontrait expérimentalement

que son plan d'oscillation de par heure. L'expérience de Foucault est une preuve frappante

de la rotation de la Terre. Même si la Terre était toujours couverte de nuages, cette expérience aurait

montré aux physiciens que la Terre tournait.

Comme troisième exemple parlons des tourbillons que l'on peut observer dans la baignoire ou le

lavabo. Ce n'est qu'une légende que ce dernier tourne différemment en fonction des hémisphères.

Car la vitesse et la masse mises en jeu sont beaucoup trop faibles pour êtres observables dans de

tels objets. Au fait, le sens de rotation est dû aux imperfections (aspérités) du siphon. Par contre, si

vous allez en équateur, il y a des étudiants qui se font un plaisir de vous montrer que l'effet existe

avec une petite expérience mise en place avec une allumette. En se déplaçant de dix mètres, ils vous

montreront le sens de rotation du siphon change en fonction de l'hémisphère dans laquelle on se

trouve!

THÉORÈMES DE KÖNIG

Nous avons vu jusqu'à maintenant, comment calculer le moment cinétique ou l'énergie cinétique

d'un système dynamique par rapport à un unique référentiel (soit galiléen, soit barycentrique)

Les théorèmes de König donnent eux les moments cinétiques et l'énergie cinétique totale d'un

système dynamique par rapport à un référentiel galiléen et barycentrique

PREMIER THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème le moment cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant

toujours facilement extensible un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément du corps solide par rapport à l'origine O du

référentiel galiléen (noté : par la suite) :

(30.25)

Exprimons le moment cinétique dans par rapport à son centre de masse G (noté : ) :

(30.26)

Le référentiel étant en translation par rapport à , nous avons :

(30.27)

Sans oublier que :

(30.28)

que nous insérons dans l'expression du moment cinétique :

(30.29)

De par la propriété du produit vectoriel, nous avons :

(30.30)

Étudions maintenant la valeur que prend chacun des quatre termes de la relation précédente. Nous

savons que par la définition du centre de masse que (dans un cadre non relativiste) :

(30.31)

d'où :

(30.32)

et également :

(30.33)

Finalement, il vient :

(30.34)

Donc finalement :

(30.35)

Ce théorème qui se rapporte à un point fixe permet l'application plus aisée du théorème du moment

cinétique.

DEUXIÈME THÉORÈME DE KÖNIG

Utilisons pour démontrer ce théorème l'énergie cinétique d'un corps de masse M (l'exemple étant

toujours facilement extensible un système dynamique discret ou continu de matière).

Exprimons le moment cinétique d'un élément du corps solide par rapport à l'origine O du

référentiel galiléen (noté : par la suite) :

(30.36)

Exprimons l'énergie cinétique dans par rapport à son centre de masse G (noté : ) :

(30.37)

Avec de même que précédemment :

(30.38)

Il vient dès lors :

(30.39)

et donc :

(30.40)

et comme pour le moment cinétique, de par la définition du centre de masse, nous avons :

(30.41)

d'où le deuxième théorème de König :

(30.42)

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