Notes sur les niveaux de qualités - 1° partie, Notes de Ingénierie unifiée avancée. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur les niveaux de qualités - 1° partie, Notes de Ingénierie unifiée avancée. Ecole des Ingénieurs de la Ville de Paris

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Notes d'ingénierie sur les niveaux de qualités - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: un point important relativement à Six Sigma, le "niveau de qualité sigma", exemple, remarques.
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Signalons un point important relativement à Six Sigma. Au fait, objectivement, l'idée de cette

méthode est certes de faire de la SPC (entre autres, mais ça ce n'est pas nouveau) mais surtout

de garantir au client selon la tradition couramment admise avec un écart-type ayant une borne

supérieure de avec une déviation à la moyenne (en valeur absolue) de 1.5 par rapport à

la cible ce qui garantit au plus 3.4 PPM (c'est-à-dire 3.4 rejets par million).

Remarque: Ce choix empirique vient de la mise en pratique de la méthode Six Sigma par son

créateur (Bill Smith). Il a observé dans son entreprise (Motorola) que sous contrôle statistique il

avait quasimment systématiquement une déviation comprise entre 1.2 et 1.8 à la moyenne

pour tous ses procédés industriels.

Voyons d'où vient cette dernière valeur à l'aide des deux tableaux suivants:

1. D'abord construisons un tableau de type idéal qui présente des données d'un procédé court

terme (mais les calculs sont parfaitement identiques pour du long terme) centré sur la cible (de

cible nulle ici, ce qui est un cas typique), de moyenne nulle (donc sur la cible et alors

donc ) et d'écart-type unitaire avec USL et LSLsymétriques (ce qui restreint par contre

le champ d'application):

CpCpkDéfauts (PPM) Niveau de qualité Sigma Critère

0.5 0.5 133614 1.5 Mauvais

0.6 0.6 71861 1.8

0.7 0.7 35729 2.1

0.8 0.8 16395 2.4

0.9 0.9 6934 2.7

1 1 2700 3

1.1 1.1 967 3.3

1.2 1.2 318 3.6

1.3 1.3 96 3.9 Limite

1.4 1.4 27 4.2

1.5 1.5 6.8 4.5

1.6 1.6 1.6 4.8

1.7 1.7 0.34 5.1

1.8 1.8 0.067 5.4

1.9 1.9 0.012 5.7

2 2 0.002 6 Excellent

Tableau: 2 - Capabilité, Niveau de qualité Sigma et P.P.M. dans procédé centré

où tout les données sont obtenues à l'aide des relations suivantes à partir de l'indice de

capabilité potentielle uniquement:

(78)

si l'écart-type est réduit (ce qui peut toujours être fait et ne change point la justesse des

résultats!). Et puisque dans le tableau ci-dessus LSL et USL sont symétrique par rapport à la

cible:

(79)

et les PPM sont conformément à ce que nous avons vus juste avant donnés par:

(80)

et donc puisque dans l'exemple ci-dessus LSL et USL sont symétrique par rapport à la cible cela

se simplifie en:

(81)

où par exemple la valeur du PPM donnée à la ligne "Limite" est obtenue avec Maple à l'aide de

la commande:

>evalf((1-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-x^2/2),x=-infinity..3.9))*2)*1E6;

ou avec MS Excel (version anglais):

=(1-NORMDIST(3.9;0;1;1))*1E6

Il nous reste à voir d'où provient le "niveau de qualité sigma" noté qui est au fait donné à

l'aide du tableau que nous avions construit dans le chapitre de Statistique:

Niveau de qualité

Sigma

Taux de non-défection

assuré en %

Taux de défection

en parties par

million

68.26894 317'311

95.4499 45'500

99.73002 2'700

99.99366 63.4

99.999943 0.57

99.9999998 0.002

Tableau: 3 - Capabilité, Taux de non-défection en % et PPM

et nous avions donné la commande Maple pour obtenir ses valeurs qui sont toutes valables

pour tout écart-type et toute espérance!

2. Maintenant construisons le tableau au pire selon Six Sigma, soit un tableau en procédé non

centré (c'est-à-dire où n'est pas satisfait) avec une déviation de la moyenne

de (donc à droite mais on pourrait prendre à gauche et les résultats seraient les mêmes)

par rapport à la cible et d'écart-type unitaire avec USL et LSL symétriques (ce qui restreint

toujours le champ d'application):

CpCpkDéfauts (PPM) Niveau de qualité Sigma Critère

0.5 0 501350 1.5 Mauvais

0.6 0.1 382572 1.8

0.7 0.2 27412 2.1

0.8 0.3 184108 2.4

0.9 0.4 115083 2.7

1 0.5 66810 3

1.1 0.6 35931 3.3

1.2 0.7 17865 3.6

1.3 0.8 8198 3.9 Limite

1.4 0.9 3467 4.2

1.5 1 1350 4.5

1.6 1.1 483 4.8

1.7 1.2 159 5.1

1.8 1.3 48 5.4

1.9 1.4 13 5.7

2 1.5 3.4 6 Excellent

Tableau: 4 - Capabilité, Niveau de qualité Sigma et P.P.M. dans procédé décentré

où tout les données sont obtenues à l'aide des relations suivantes à partir de l'indice de

capabilité potentielle uniquement:

(82)

et donc:

(83)

d'où:

(84)

et les PPM sont conformément à ce que nous avons vus juste avant donnés par:

(85)

où la ligne "Limite" du tableau précédent est par exemple obtenue avec Maple à l'aide de la

commande:

>evalf((1-1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-

infinity..(1.3*3))))*1E6+evalf((1/sqrt(2*Pi)*int(exp(-(x-1.5)^2/2),x=-infinity..-

(3*(1.3+1)))))*1E6;

ou avec MS Excel:

=(((1-NORMDIST(3*1.3;1.5;1;1))+NORMDIST(-3*(1.3+1);1.5;1;1)))*1E6

On comprend enfin en voyant cette fameuse ligne "Limite" pourquoi un procédé sous-contrôle

est dit "limite capable" avec un indice de capabilité potentielle de 1.33 étant donné le nombre

de PPM!

Donc le but dans la pratique c'est bien évidemment d'être dans la situation du premier tableau

avec pour valeur correspondante dans ce premier tableau à un niveau de qualité sigma

de pour avoir l'équivalent des 3.4 PPM du deuxième tableau (car il est plus facile de

centrer un procédé que de contrôler ses écarts).

Toute l'importance des valeurs calculées ci-dessous est dans l'application de procédés de

fabrication à n-étapes en série (considérés sous la dénomination de "processus"). Cette

application sera présentée dans le chapitre sur les Techniques de Gestion.

Exemple:

Faisons un résumé de tout cela en considérant une nouvelle petite production de pièces

par lot de 10 (afin d'ajuster en cours de production). La mesure de côtes de 5 pièces chaque

heure pendant 10 heures avec une tolérance de soit en termes de centièmes un

étendue de:

(86)

et une cible de (en termes d'écarts). Nous avons les données suivantes:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 -2 -4 -1 0 4 0 3 0 1 -1

2 0 -3 0 -2 1 -2 0 1 -1 2

3 -1 0 -3 -1 0 0 -1 -1 3 1

4 1 1 -2 2 2 0 1 0 4 0

5 -1 -1 -3 0 0 3 3 2 1 0

-0.6 -1.4 -1.8 -0.2 1.4 0.2 1.2 0.4 1.6 0.5

1.14 2.07 1.30 1.48 1.67 1.79 1.79 1.14 1.95 1.14

Tableau: 5 - Application d'analyse de maîtrise statistique des procédés

Nous voyons immédiatement que le processus de fabrication a été non-stationnaire pendant

cette première production il faudra donc apporter des corrections à l'avenir:

(87)

ou sous forme de carte de contrôle (comme je les aime) avec la représentation d'un écart-type

de (ce qui est suffisant pour des petites quantité des pièces bon marché à fabriquer):

(88)

Donc on devine quand même que le processus est limite....

Remarque: Une chose intéressante c'est que l'on peut analyser aussi ce graphique en utilisant les

outils mathématiques de l'analyse des séries temporelles (cf. chapitre d'Économétrie).

D'abord, si nous voulons faire une étude statistique pertinente des différentes données ci-

dessus nous pouvons calculer la moyenne générale des écarts qui sous l'hypothèse d'une

distribution Normale est la moyenne arithmétique (cf. chapitre de Statistiques):

(89)

Ensuite l'écart-type des données de toutes les pièces est de:

(90)

en utilisant l'estimateur de maximum de vraisemblance de la variance de la loi Normale:

(91)

nous avons une valeur supérieur à 1 ce qui est donc non-conforme à ce que Six Sigma exige

dans son niveau de qualité.

Donc l'erreur-standard (l'estimateur de l'écart-type de la moyenne) est de:

(92)

Donc l'intervalle de confiance à 95% de la moyenne est de (cf. chapitre de Statistiques):

(93)

Soit dans notre cas:

(94)

Et l'inférence statistique avec notre écart-type long terme utilisant le test d'hypothèse bilatéral

du donne (cf. chapitre de Statistiques):

(95)

Ce qui nous donne dans notre cas:

(96)

soit:

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