Notes sur les nombres abstraits, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres abstraits, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les nombres abstraits. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: L'alphabet latin, L'alphabet grec, L'alphabet hébraïque, les domaine de définition.
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Nombres abstraits.

Le nombre peut être envisagé en faisant abstraction de la nature des objets qui constituent le

groupement qu'il caractérise et ainsi qu'à la façon de codifier (chiffre arabe, romain, ou autre

système universel). Nous disons alors que le nombre est "abstrait".

Remarque: Arbitrairement, l'être humain a adopté un système numérique majoritairement utilisé de

par le monde et représenté par les symboles 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9 du système décimal et qui seront

supposés connus aussi bien en écriture qu'oralement par le lecteur (apprentissage du langage).

Pour les mathématiciens, il n'est pas avantageux de travailler avec ces symboles car ils

représentent uniquement des cas particuliers. Ce que cherchent les physiciens théoriciens ainsi

que les mathématiciens, se sont des "relations littérales" applicables dans un cas général et que

les ingénieurs puissent en fonction de leurs besoins changer ces nombres abstraits par les valeurs

numériques qui correspondent au problème qu'ils ont besoin de résoudre.

Ces nombres abstraits appelés aujourd'hui communément "variables" ou "inconnues" et utilisées

dans le cadre du "calcul littéral" sont très souvent représentés par:

1. L'alphabet latin :

a, b, c, d, e...x, y, z ; A, B, C, D, E... (2.242)

où Les lettres minuscules du début l'alphabet latin (a, b, c, d, e...) sont souvent utilisées pour

représenter de manière abstraite des constantes, alors que les lettres minuscules de la fin de

l'alphabet latin (...x, y, z) sont utilisées pour représenter des entités (variables ou inconnues) dont

nous recherchons la valeur.

2. L'alphabet grec :

Alpha

Lambda

Beta

Mu

Gamma

Nu

Delta

Xi

Epsilon

Omicron

Zeta

Pi

Eta

Rho

Theta

Sigma

Iota

Tau

Kappa

Upsilon

Phi

Chi

Psi

Omega

Tableau: 2.5 - Alphabet Grec

qui est particulièrement utilisé pour représenter soit des opérateurs mathématiques plus ou moins

complexes (comme la somme indexée , le variationnel , l'élément infinitésimal , le

différentiel partiel , etc.) soit des variables dans le domaine de la physique (comme pour la

pulsation, la fréquence v, la densité , etc.).

3. L'alphabet hébraïque (à moindre mesure)

Remarque: Comme nous l'avons vu, les nombres transfinis sont par exemples donnés par la

lettre "aleph".

Bien que ces symboles puissent représenter n'importe quel nombre il en existe quelques uns qui

peuvent représenter en physique des valeurs dites "constantes Universelles" comme la vitesse de la

lumière c, la constante gravitationnelle G, la constante de Planck h, etc.

Nous utilisons très souvent encore d'autres symboles que nous introduirons et définirons au fur et

à mesure.

Remarque:Les lettres pour représenter les nombres auraient été employées pour la première fois

par Viète au 16ème siècle.

2.9.2. DOMAINES DE DÉFINITION

Une variable est un nombre abstrait susceptible de prendre des valeurs numériques différentes.

L'ensemble de ces valeurs peut varier suivant le caractère du problème considéré.

Définitions:

D1. Nous appelons "domaine de définition" d'une variable, l'ensemble des valeurs numériques

qu'elle est susceptible de prendre entre deux valeurs finies ou infinies appelées "bornes".

Soit a et b deux nombres tel que . Alors :

D2. Nous appelons "intervalle fermé d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les nombres x compris

entre ces deux valeurs comprises et nous le désignons de la façon suivante :

(2.243)

D3. Nous appelons "intervalle ouvert d'extrémité a et b", l'ensemble de tous les

nombres x compris entre ces deux valeurs non comprises et nous le désignons de la façon

suivante:

(2.244)

D4. Nous appelons "intervalle fermé à gauche, ouvert à droite" l'ensemble suivant:

(2.245)

D5. Nous appelons "intervalle ouvert à gauche, fermé à droite" l'ensemble suivant:

(2.246)

Soit sous forme résumée et imagée:

[a,b]

Intervalle fermé borné

[a,b[

Intervalle borné semi-fermé en aet

semi-ouvert en b (ou semi-fermé à

gauche et semi-ouvert à droite)

]a,b]

Intervalle borné semi-ouvert en aet

semi-fermé en b (ou semi-ouvert à

gauche et semi-fermé à droite)

]a,b[

Intervalle ouvert borné.

]- ,b]

Intervalle non borné fermé en b(ou

fermé à droite)

]- ,b[

Intervalle non borné ouvert en b

(ou ouvert à droite)

[a ,+ [

Intervalle non borné fermé en a(ou

fermé à gauche)

]a,+ [

Intervalle non borné ouvert

en a(ou ouvert à gauche)

Tableau: 2.6 - Types d'intervalles et de bornes

Remarques:

R1. La notation {x tels que } désigne l'ensemble des réels x tels qui sont strictement plus

grand que a et strictement inférieur à b.

R2. Le fait de dire qu'un intervalle est par exemple ouvert en b signifie que le réel b ne fait pas

partie de celui-ci. Par contre, s'il y avait été fermé alors il en aurait fait partie.

R3. Si la variable peut prendre toutes les valeurs négatives et positives possibles nous écrivons dès

lors: où le symbole " " signifie une "infinité". Evidemment il peut y avoir des

combinaisons d'intervalles ouverts et infinis à droite, fermé et limité gauche et réciproquement.

R4. Nous rappellerons ces concepts avec une autre approche lorsque nous étudierons l'algèbre

(calcul littéral).

Nous disons que la variable x est "ordonnée" si en représentant son domaine de définition par un

axe horizontal où chaque point de l'axe représente une valeur de x, alors que pour chaque couple

de valeurs, nous pouvons indiquer celle qui est "antécédente" (qui précède) et celle qui est

"conséquente" (qui suit). Ici la notion d'antécédente ou de conséquente n'est pas liée au temps,

elle exprime juste la façon d'ordonner les valeurs de la variable.

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