Notes sur les nombres algébriques et transcendants, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres algébriques et transcendants, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les nombres algébriques et transcendants. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définitions, les nombres algébriques, les nombres transcendants.
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Nombres algébriques et transcendants.

Définitions:

D1. Nous appelons "nombre entier algébrique de degré n", tout nombre qui est solution d'une

équation algébrique de degré n, à savoir: un polynôme de degré n (concept que nous aborderons

dans la section d'Algèbre) dont les coefficients sont des entiers relatifs et dont le coefficient

dominant vaut 1.

D2. Nous appelons "nombre algébrique de degré n", tout nombre qui est solution d'une équation

algébrique de degré n, à savoir: un polynôme de degré n dont les coefficients sont des rationnels.

Un premier résultat intéressant et particulier dans ce domaine d'étude (curiosité mathématique...)

est qu'un nombre rationnel est un "nombre entier algébrique de degré n" si et seulement si c'est

un entier relatif (lisez plusieurs fois au besoin...). En termes savants, nous disons alors que

l'anneau est "intégralement clos".

Démonstration:

Nous supposons que le nombre p/q, où p et q sont deux entiers premiers entre eux (c'est-à-dire

dont le rapport ne donne pas un entier ou plus rigoureusement... que le plus petit dénominateur

commun est 1!), est une racine du polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) suivant à

coefficients entiers relatifs et dont le coefficient dominant est unitaire:

(2.236)

où l'égalité avec zéro du polynôme est implicite.

Dans ce cas:

(2.237)

Puisque les coefficients sont par définition tous entiers et leurs multiples aussi dans la paranthèse,

alors la paranthèse à nécessairement une valeur dans .

Ainsi, q (à droite de la paranthèse) divise une puissance de p (à gauche de l'égalité), ce qui n'est

possible, dans l'ensemble (car notre paranthèse a une valeur dans cet ensemble pour rappel...),

que si q vaut (puisqu'ils étaient premiers entre eux).

Donc parmi tous les nombres rationnels, les seuls qui sont solutions d'équations polynômiales à

coefficients entiers relatifs et dont le coefficient dominant est unitaire sont des entiers relatifs!

C.Q.F.D.

Pour prendre un autre cas intéressant et particulier, il est facile de montrer qu'absolument tout

nombre rationnel est un "nombre algébrique". Effectivement, si nous prenons le plus simple

polynôme suivant:

(2.238)

où q et p sont premiers entre eux et où q est différent de 1. Alors comme il s'agit d'une polynôme

à coefficients rationnels simple, après remaniement nous avons:

(2.239)

Donc puisque q et p sont premiers entre eux et que q est différent de l'unité, nous avons bien que

tout nombre rationnel est un "nombre algébrique de degré 1".

Ainsi, la quantité de nombres rationnels "algébriques" est plus grand que le nombre de rationnels

qui sont des "entiers algébriques".

Nous avons aussi le nombre réel (et irrationnel) qui est un "nombre entier algébrique de degré

2", car il est racine de:

(2.240)

et le nombre complexe i qui est aussi un "nombre entier algébrique de degré 2", car il est racine

de l'équation:

(2.241)

etc...

Définition: Les nombres qui ne sont pas algébriques (entiers ou non!) sont transcendants.

L'ensemble de tous les nombres transcendants est non dénombrable. La preuve est simple et ne

nécessite aucun développement mathématique difficile.

Effectivement, puisque les polynômes à coefficients entiers sont dénombrables, et puisque chacun

de ces polynômes possède un nombre fini de zéros (voir le théorème de factorisation dans le

chapitre de Calcul Algébrique), l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable! Mais

l'argument de la diagonale de Cantor (cf. chapitre de Théorie des Ensembles) établit que les

nombres réels (et par conséquent les nombres complexes aussi) sont non dénombrables, donc

l'ensemble de tous les nombres transcendants doit être non dénombrable.

En d'autres termes, il y a beaucoup plus de nombres transcendants que de nombres algébriques.

Les transcendants les plus connus sont et . Les démonstrations de leur transcendance est en

cours de rédaction. Nous devrions pouvoir vous les fournir fin 2014.

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