Notes sur les nombres complexes - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres complexes - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les nombres complexes - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les différentes manières de construire les nombres complexes, L'addition et la multiplication de nombres comp...
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Nombres complexes.

Inventés au 16ème siècle entre autres par Jérôme Cardan et Rafaello Bombelle, ces nombres

permettent de résoudre des problèmes n'ayant pas de solutions dans ainsi que de formaliser

mathématiquement certaines transformations dans le plan tel que la rotation, la similitude, la

translation, etc. Pour les physiciens, les nombres complexes constituent surtout un moyen très

commode de simplifier les notations. Il est ainsi très difficile d'étudier les phénomènes

ondulatoires, la relativité générale ou la mécanique quantique sans recourir aux nombres et

expressions complexes.

Il existe plusieurs manières de construire les nombres complexes. La première est typique de la

construction telle que les mathématiciens en ont l'habitude dans le cadre de la théorie des

ensembles. Ils définissent un couple de nombres réels et définissent des opérations entre ces

couples pour arriver enfin à une signification du concept de nombre complexe. La deuxième est

moins rigoureuse mais son approche est plus simple et consiste à définir le nombre imaginaire

pur unitaire i et ensuite de construire les opérations arithmétiques à partir de sa définition. Nous

allons opter pour cette deuxième méthode.

Définitions:

D1. Nous définissons le "nombre imaginaire unitaire pur" que nous notons i par la propriété

suivante :

(2.61)

D2. Un "nombre complexe" est un couple d'un nombre réel a et d'un nombre imaginaire ib et

s'écrit généralement sous la forme suivante :

z = a+ib (2.62)

a et b étant des nombres appartenant à .

Nous notons l'ensemble des nombres complexes et avons donc par construction :

(2.63)

Remarque: L'ensemble est identifié au plan euclidien orienté E (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) grâce au

choix d'une base orthonormée directe (nous obtenons ainsi le "plan d'Argand-Cauchy" ou plus

communément "plan de Gauss" que nous verrons un peu plus loin).

L'ensemble des nombres complexes qui constitue un corps (cf. chapitre de Théorie Des

Ensembles), et noté , est défini (de manière simple pour commencer) dans la notation de la

théorie des ensembles par :

(2.64)

En d'autres termes nous disons que le corps est le corps auquel nous avons "adjoint" le

nombre imaginaire i. Ce qui se note formellement :

(2.65)

L'addition et la multiplication de nombres complexes sont des opérations internes à l'ensemble

des complexes (nous reviendrons beaucoup plus en détail sur certaines propriétés des nombres

complexes dans le chapitre traitant de la Théorie Des Ensembles) et définies par:

(2.66)

La "partie réelle" de z est traditionnellement notée:

(2.67)

La "partie imaginaire" de z est traditionnellement notée:

(2.68)

Le "conjugué" ou "conjugaison" de z est défini par:

(2.69)

et est aussi parfois noté (en particulier en physique quantique dans certains ouvrages!).

A partir d'un complexe et de son conjugué, il est possible de trouver ses parties réelles et

imaginaires. Ce sont les relations évidentes suivantes :

et (2.70)

Le "module" de z (ou "norme") représente la longueur par rapport au centre du plan de Gauss (voir

un peu plus bas ce qu'est le plan de Gauss) et est simplement calculé avec l'aide du théorème de

Pythagore:

(2.71)

et est donc toujours un nombre positif ou nul.

Remarque: La notation pour le module n'est pas innocente puisque coïncide avec la valeur absolue

de zlorsque z est réel.

La division entres deux complexes se calcule comme (le dénominateur étant évidemment non nul):

(2.72)

L'inverse d'un complexe se calculant de façon similaire :

(2.73)

Nous pouvons aussi énumérer 8 importantes propriétés du module et du conjugué complexe:

P1. Nous affirmons que :

(2.74)

Démonstration:

Par définition du module , pour que la somme soit nulle, la condition

nécessaire est que:

(2.75)

C.Q.F.D.

P2. Nous affirmons que :

(2.76)

Démonstration:

(2.77)

C.Q.F.D.

P3. Nous affirmons que :

(2.78)

Démonstration:

Les deux inégalités ci-dessus peuvent s'écrire:

(2.79)

donc équivalent respectivement à:

(2.80)

qui sont triviales. La suite est alors triviale...

C.Q.F.D.

P4. Nous avons:

(2.81)

et si:

(2.82)

Démonstrations:

(2.83)

et:

(2.84)

C.Q.F.D.

P5. Nous affirmons (à nouveau...) que :

(2.85)

Démonstration:

(2.86)

C.Q.F.D.

P6. Nous affirmons que :

(2.87)

Démonstrations:

(2.88)

et :

(2.89)

et :

(2.90)

C.Q.F.D.

Remarques:

R1. En des termes mathématiques, la première démonstration permet de montrer que la conjugaison

complexe est ce que l'on appelle "involutive" (dans le sens qu'elle ne fait rien évoluer...).

R2. En des termes tout aussi mathématiques (ce n'est que du vocabulaire!), la deuxième

démonstration montre que la conjugaison de la somme de deux nombres complexes est ce que nous

appelons un "automorphisme du groupe" (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

R3. Encore une fois, pour le vocabulaire..., la troisième démonstration montre que la conjugaison du

produit de deux nombres complexes est ce que nous appelons un "automorphisme du

corps" (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles).

P7. Nous affirmons que pour z différent de zéro:

(2.91)

Nous nous restreindrons à la démonstration de la seconde relation qui est un cas général de la

première (pour ).

Démonstration:

(2.92)

C.Q.F.D.

P8. Nous avons :

(2.93)

pour tous complexes (rigoureusement non nuls car sinon le concept d'argument du nombre

complexe que nous verrons plus loin est alors indéterminé). De plus l'égalité a lieu si et seulement

si et sont colinéaires (les vecteurs sont "sur la même droite") et de même sens, autrement

dit .... s'il existe tel que .

Démonstration:

(2.94)

Cette inégalité peut ne pas paraître évidente à tout le monde alors développons un peu et

supposons-la vraie:

(2.95)

Après simplification:

(2.96)

et encore après simplification:

(2.97)

donc comme la paranthèse au carré est forcément positive ou nulle il s'ensuit:

(2.98)

Cette dernière relation démontre donc que l'inégalité est vraie.

C.Q.F.D.

Remarque: Il existe une forme plus générale de cette inégalité appelée "inégalité de Minkowski" présentée

dans le chapitre de Calcul Vectoriel (les nombres complexes peuvent effectivement s'écrire sous la forme

de vecteurs comme nous allons le voir de suite.

INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE

Nous pouvons aussi représenter un nombre complexe ou dans un plan délimité par

deux axes (deux dimensions) de longueur infinie et orthogonaux entres eux. L'axe vertical

représentant la partie imaginaire d'un nombre complexe et l'axe horizontal la partie réelle (voir

figure ci-après).

Il y donc bijection entre l'ensemble des nombres complexes et l'ensemble des vecteurs du plan de

Gauss (notion d'affixe).

Nous nommons parfois ce type de représentation "plan de Gauss":

(2.99)

et nous écrivons alors:

(2.100)

Nous voyons sur ce diagramme qu'un nombre complexe a donc une interprétation vectorielle (cf.

chapitre de Calcul Vectoriel) donnée par :

(2.101)

où la base canonique est définie telle que:

(2.102)

avec:

(2.103)

Ainsi, est le vecteur de la base unitaire porté par l'axe horizontal et est le vecteur de

la base unitaire porté par l'axe imaginaire et r est le module (la norme) positif ou nul.

Ceci est a comparer avec les vecteurs de (cf. chapitre de Calcul Vectoriel):

(2.104)

avec:

(2.105)

ce qui fait que nous pouvons identifier le plan complexe avec la plan euclidien.

Par ailleurs, la définition du cosinus et sinus (cf. chapitre de Trigonométrie) nous donne :

(2.106)

Finalement :

(2.107)

Ainsi :

(2.108)

complexe qui est toujours égal à la lui-même modulo de par les propriétés des fonctions

trigonométriques :

(2.109)

avec et où est appelé "l'argument de z" et est noté traditionnellement :

(2.110)

Les propriétés du cosinus et du sinus (cf. chapitre de Trigonométrie) nous amènent directement à

écrire pour l'argument :

et (2.111)

Nous démontrons entre autres avec les séries de Taylor (cf. chapitre des Suites Et Séries) que :

(2.112)

et:

(2.113)

dont la somme est semblable à:

(2.114)

mais par contre parfaitement identique au développement de Taylor de :

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