Notes sur les nombres complexes - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres complexes - 2° partie, Notes de Mathématiques

PDF (335.1 KB)
8 pages
371Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les nombres complexes - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la division de deux nombres complexes, les transformations dans le plan, les démonstrations.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

(2.115)

Donc finalement, nous pouvons écrire :

(2.116)

relation nommée "formule d'Euler".

Grâce à la forme exponentielle d'un nombre complexe, très fréquemment utilisée dans de

nombreux domaines de la physique et de l'ingénierie, nous pouvons très facilement tirer des

relations telles que (cis est une vieille notation qui est l'abréviation du cos i sin se trouvant dans la

paranthèse):

(2.117)

et en supposant connues les relations trigonométriques de bases (cf. chapitre de Trigonométrie)

nous avons les relations suivantes pour la multiplication de deux nombres complexes :

(2.118)

dès lors :

(2.119)

et donc si n est un entier positif:

(2.120)

Pour le module de la multiplication (nous changeons de notation pour la lisibilité é):

(2.121)

d'où :

(2.122)

Pour la division de deux nombres complexes :

(2.123)

Le module de leur division vient alors immédiatement :

(2.124)

dès lors nous avons pour l'argument :

(2.125)

ainsi il vient immédiatement :

(2.126)

Pour la mise en puissance d'un nombre complexe (ou la racine):

(2.127)

ce qui nous donne immédiatement un résultat déjà mentionné plus haut:

(2.128)

et pour l'argument :

(2.129)

Dans le cas où nous avons un module unité tel que nous avons alors la

relation :

(2.130)

appelée "formule de Moivre".

Pour le logarithme népérien d'un nombre complexe, nous avons trivialement la relation suivante

sur laquelle nous reviendrons dans le chapitre d'Analyse Complexe:

(2.131)

où ln( z ) est souvent dans le cas complexe écrit Log( z ) avec un "L" majusucule.

Toutes les relations précédentes pourraient bien sûr être obtenues avec la forme trigonométrique

des nombres complexes mais nécessiteraient alors quelques lignes supplémentaires de

développements.

Remarque: Une variation sinusoïdale peut être représentée comme la projection (cf.

chapitre de Trigonométrie) sur l'axe vertical y (axe des imaginaires de l'ensemble ) d'un

vecteur tournant à vitesse angulaire autour de l'origine dans le plan xOy :

(2.132)

Un tel vecteur tournant s'appelle "vecteur de Fresnel" et peut très bien être interprété comme la

partie imaginaire d'un nombre complexe donné par :

(2.133)

Nous retrouverons les vecteurs tournants de façon explicite lors de notre étude de la mécanique

ondulatoire et optique géométrique (dans le cadre de la diffraction).

2.6.1. TRANSFORMATIONS DANS LE PLAN

Il est habituel de représenter les nombres réels comme points d'une droite graduée. Les

opérations algébriques y ont leur interprétation géométrique: l'addition est une translation, la

multiplication une homothétie centrée à l'origine.

En particulier nous pouvons parler de la "racine carrée d'une transformation". Une translation

d'amplitude a peut être obtenue comme l'itération d'une translation d'amplitude a/2. De même

une homothétie de rapport a peut être obtenue comme l'itérée d'une homothétie de rapport .

En particulier une homothétie de rapport 9 est la composée de deux homothéties de rapport 3 ( ou

-3).

La racine carrée prend alors un sens géométrique. Mais qu'en est-il de la racine carrée de nombres

négatifs? En particulier la racine carrée de -1?

Une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une symétrie par rapport à l'origine. Toutefois

si nous voulons voir cette transformation d'une manière continue, force nous est de placer la

droite dans un plan. Dès lors une homothétie de rapport -1 peut être vue comme une rotation

de radians autour de l'origine.

Du coup, le problème de la racine carrée négative se simplifie. En effet, il n'est guère difficile de

décomposer une rotation de radians en deux transformations: nous pouvons répéter soit une

rotation de soit une rotation de . L'image de 1 sera la racine carrée de -1 et i est

située sur une perpendiculaire à l'origine à une distance 1 soit vers le haut soit vers le bas.

Ayant réussi à positionner le nombre i il n'est plus guère difficile de disposer les autres nombres

complexes dans un plan de Gauss. Nous pouvons ainsi associer à 2i le produit de l'homothétie (cf.

chapitre de Géométrie Euclidienne) de rapport 2 par la rotation de centre O et d'angle , soit

une similitude centrée à l'origine. C'est ce que nous allons nous efforcer à montrer maintenant.

Soient :

(2.134)

et .

Nous avons les propriétés de transformations géométriques suivantes pour les nombres

complexes (voir le chapitre de Trigonométrie pour les propriétés du sinus et cosinus) que nous

pouvons joyeusement combiner selon notre bon vouloir :

P1. La multiplication de par un réel dans le plan de Gauss correspond (trivial) à une

homothétie (agrandissement) de centre O (l'intersection des axes imaginaires et réels), de

rapport .

Démonstration :

(2.135)

C.Q.F.D.

P2. La multiplication de par un nombre complexe de module unitaire :

(2.136)

correspond à une rotation de centre O et d'angle du complexe .

Démonstration:

(2.137)

C.Q.F.D.

Remarque: Nous voyons alors immédiatement, par exemple, que multiplier un nombre complexe

par i (c'est-à-dire ) correspond à une rotation de .

Il est intéressant d'observer que sous forme vectorielle la rotation de centre O de par peut

s'écrire à l'aide de la matrice suivante :

(2.138)

Démonstration:

Nous savons que est une rotation de centre O et d'angle . Il suffit de l'écrire à l'ancienne :

(2.139)

ce qui donne sous forme vectorielle :

(2.140)

donc l'application linéaire est équivalent à:

(2.141)

ou encore (nous retombons sur la matrice de rotation dans le plan que nous avons dans le

chapitre de Géométrie Euclidienne ce qui est un résultat remarquable!) en utilisant:

(2.142)

dans le cas particulier et arbitraire où r serait unitaire (afin d'avoir une rotation pure!) nous avons

immédiatement (nous avons repris les notations de l'angle tel que nous l'avons dans le chapitre de

Géométrie):

(2.143)

Remarquons que la matrice de rotation peut aussi s'écrire sous la forme :

(2.144)

de même :

(2.145)

C.Q.F.D.

Ainsi nous remarquons que ces matrices de rotation ne sont pas que des applications mais sont

des nombres complexes aussi (bon c'était évident dès le début mais fallait le montrer de manière

esthétique et simple).

Ainsi, nous avons pour habitude de poser que :

(2.146)

Le corps des nombres complexes est donc isomorphe au corps des matrices réelles carrées de

dimension 2 du type:

(2.147)

C'est un résultat que nous réutiliserons de nombreuses fois dans divers chapitres de ce site pour

des études particulières en algèbre, géométrie et en physique quantique relativiste.

P3. La multiplication de deux complexes correspond à une homothétie ajoutée d'une rotation. En

d'autres termes, d'une "similitude directe".

Démonstration:

(2.148)

il s'agit donc bien d'une similitude de rapport b et d'angle .

C.Q.F.D.

Au contraire, l'opération suivante :

(2.149)

sera appelée une "similitude linéaire rétrograde".

Par ailleurs, il en retourne trivialement la relation déjà connue suivante:

(2.150)

Remarques:

R1. La somme de deux nombres complexes ne pouvant avoir une écriture mathématique

simplifiée sous quelque forme que ce soit, nous disons alors que la somme équivaut à une

"translation d'amplitude".

R2. La combinaison d'une similitude linéaire (multiplication de deux nombres complexes) directe et

d'une translation d'amplitude (sommation par un troisième nombre complexe) correspond à ce que

nous appelons une "similitude linéaire directe".

P4. Le conjugué d'un nombre complexe est géométriquement son symétrique par rapport à

l'axe tel que :

(2.151)

sans oublier que :

(2.152)

Ce qui nous donne un résultat déjà connu:

(2.153)

D'où nous pouvons tirer la propriété suivante :

(2.154)

d'où:

(2.155)

P5. La négation du conjugué d'un nombre complexe est géométriquement son symétrique par

rapport à l'axe des imaginaires tel que :

(2.156)

Remarques:

R1. La combinaison de P4, P5 est appelée une "similitude rétrograde".

R2. L'opération géométrique qui consiste à prendre l'inverse du conjugué d'un nombre complexe

(soit ) est appelé une "inversion de pôle".

P6. La rotation de centre c et d'angle est donnée par :

(2.157)

Explications:

Le complexe c donne un point dans le plan de Gauss qui sera le centre de rotation. La

différence donne le rayon r choisi. La multiplication par est la rotation du rayon par

rapport à l'origine du plan de Gauss dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Finalement,

l'addition par c la translation nécessaire pour ramener le rayon r tourné à l'origine du centre c. Ce

qui donne schématiquement:

(2.158)

P7. Sur la même idée, nous obtenons une homothétie de centre c, de rapport par l'opération :

(2.159)

Explications :

La différence donne toujours le rayon r et c un point dans le centre de Gauss.

donne l'homothétie du rayon par rapport à l'origine du plan de Gauss et finalement

l'addition par c la translation nécessaire pour que l'homothétie soit vue comme étant faite de

centre c.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome