Notes sur les nombres quaternions - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres quaternions - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les nombres quaternions - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les hypercomplexes, la multiplication des composantes d'un quaternion, la résolution de ce système, l'inter...
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Nombres quaternions.

Appelés aussi "hypercomplexes", les nombres quaternions ont été inventés en 1843 par William

Rowan Hamilton pour généraliser les nombres complexes.

Définition: Un quaternion est un élément et dont nous notons l'ensemble qui le

contient et que nous appelons "ensemble des quaternions".

Un "quaternion" peut aussi bien être représenté en ligne ou en colonne tel que :

(2.160)

Nous définissons la somme de deux quaternions (a,b,c,d) et (a',b',c',d') par :

(2.161)

Il est évident (du moins nous l'espérons pour le lecteur) que est un groupe commutatif (cf.

chapitre de Théorie Des Ensembles), d'élément neutre (0,0,0,0), l'opposé d'un élément (a,b,c,d)

étant (-a,-b,-c,-d)

Remarque: C'est l'addition naturelle dans vu comme -espace vectoriel (cf. chapitre de Théorie Des

Ensembles).

L'associativité se vérifie en appliquant les propriétés correspondantes des opérations sur .

Nous définissons également la multiplication :

(2.162)

de deux quaternions (a,b,c,d) et (a ',b ',c 'd ') par l'expression :

(2.163)

C'est peut-être difficile à accepter mais nous verrons un peu plus loin qu'il y a un air de famille

avec les nombres complexes.

Nous pouvons remarquer que la loi de multiplication n'est pas commutative. Effectivement, en

prenant la définition de la multiplication ci-dessous, nous avons:

(2.164)

Mais nous pouvons remarquer que :

(2.165)

Remarque: La loi de multiplication est distributive avec la loi d'addition mais c'est un excellent exemple où il

faut quand même prendre garde à démontrer la distributivité à gauche et à droite, puisque le produit n'est

pas commutatif !

La multiplication à pour élément neutre:

(1,0,0,0) (2.166)

Effectivement :

(2.167)

Tout élément:

(2.168)

est inversible.

En effet, si (a,b,c,d) est un quaternion non nul, nous avons alors nécessairement:

(2.169)

sinon les quatre nombres a, b, c, d sont de carré nul, donc tous nuls. Soit alors le

quaternion défini par :

(2.170)

alors en appliquant machinalement la définition de la multiplication des quaternions, nous

vérifions que :

(2.171)

ce dernier quaternion est donc l'inverse pour la multiplication!

Montrons maintenant (pour la culture générale) que le corps des complexes est un sous-

corps de .

Remarque: Nous aurions pu mettre cette démonstration dans le chapitre de Théorie Des Ensembles car

nous faisons usage de beaucoup de concepts qui y sont vus mais il nous a semblé un peu plus pertinent de

la mettre ici.

Soit l'ensemble des quaternions de la forme (a,b,0,0). Si est non vide, et si (a,b,0,0),

(a',b',0,0) sont des éléments de alors est un corps. Effectivement :

P1. Pour la soustraction (et donc l'addition):

(2.172)

P2. La multiplication:

(2.173)

P3. L'élément neutre:

(2.174)

P4. Et finalement l'inverse:

(2.175)

de (a,b,0,0) est encore dans .

Donc est un sous-corps de . Soit alors l'application :

(2.176)

f est bijective, et nous vérifions aisément que pour tous complexes , nous avons :

(2.177)

Donc f est un isomorphisme de sur .

Cet isomorphisme a pour intérêt (provoqué) d'identifier à et d'écrire , les lois

d'addition et de soustraction sur prolongeant les opérations déjà connues sur .

Ainsi, par convention, nous écrirons tout élément de (a,b,0,0) de sous la forme

complexe a+ib. En particulier 0 est l'élément (0,0,0,0), 1 l'élément (1,0,0,0) et i l'élément (0,1,0,0).

Nous notons par analogie et par extension j l'élément (0,0,1,0) et k l'élément (0,0,0,1). La famille

{1,i,j,k} forme une base de l'ensemble des quaternions vu comme un espace vectoriel sur ., et

nous écrirons ainsi le quaternion (a,b,c,d).

La notation des quaternions sous forme définie avant est parfaitement adaptée à l'opération de

multiplication. Pour le produit de deux quaternions nous obtenons en développant l'expression :

(2.178)

16 termes que nous devons identifier à la définition d'origine de la multiplication des quaternions

pour obtenir les relations suivantes :

(2.179)

Ce qui peut se résumer dans un tableau :

· 1 i j k

1 1 i j k

i i -1 k -j

j j -k -1 i

k k j -i -1

Tableau: 2.4 - Multiplication des composantes d'un quaternion

Nous pouvons constater que l'expression de la multiplication de deux quaternions ressemble en

partie beaucoup à un produit vectoriel (noté sur ce site) et scalaire (noté sur ce site) :

(2.180)

Si ce n'est pas évident (ce qui serait tout à fait compréhensible), faisons un exemple concret.

Exemple :

Soient deux quaternions sans partie réelle :

(2.181)

et les vecteurs de de coordonnées respectives (x, y, z) et (x', y', z'). Alors le produit :

(2.182)

est :

Nous pouvons aussi par curiosité nous intéresser au cas général... Soient pour cela deux

quaternions:

(2.183)

Nous avons alors :

(2.184)

Définition: Le centre du corps non-commutatif est l'ensemble des éléments

de commutant pour la loi de multiplication avec tous les éléments de .

Nous allons montrer que le centre de est l'ensemble des réels!

Soit le centre de , et (x, y, z, t) un quaternion. Nous devons avoir les conditions

suivantes qui soient satisfaites :

Soit alors pour tout nous cherchons :

(2.185)

ce qui donne en développant :

(2.186)

après simplification (la première ligne du système précédent est nulle des deux côtés de l'égalité) :

(2.187)

la résolution de ce système, nous donne :

(2.188)

Donc pour que le quaternion (x, y, z, t) soit le centre de il doit être réel (sans parties

imaginaires)!

Au même titre que pour les nombres complexes, nous pouvons définir un conjugué des

quaternions :

Définition: Le conjugué d'un quaternion est le quaternion

Au même titre que pour les complexes, nous remarquons que :

1. D'abord de manière évidente que si alors cela signifie que .

2. Que

3. Qu'en développant le produit nous avons :

(2.189)

que nous adopterons, par analogie avec les nombres complexes, comme une définition de la

norme (ou module) des quaternions tel que :

(2.190)

Dès lors nous avons aussi immédiatement (relation qui nous sera utile plus tard):

(2.191)

Comme pour les nombres complexes (voir plus loin), il est aisé de montrer que la conjugaison est

un automorphisme du groupe .

Effetivement, soient et alors :

(2.192)

Il est aussi aisé de montrer qu'elle est involutive. Effectivement :

(2.193)

La conjugaison n'est par contre pas un automorphisme multiplicatif du corps . En effet, si

nous considérons la multiplication de Z, Z' et en prenons le conjugué :

(2.194)

nous voyons immédiatement (ne serait-ce que pour la deuxième ligne) que nous avons:

(2.195)

Revenons maintenant sur notre norme (ou module).... Pour cela, calculons le carré de la norme

de :

(2.196)

Nous savons (par définition) que :

(2.197)

notons ce produit de manière telle que :

(2.198)

Nous avons alors :

(2.199)

en substituant il vient :

(2.200)

après un développement algébrique élémentaire (honnêtement ennuyeux), nous trouvons :

(2.201)

Donc :

(2.202)

Remarque: La norme est donc un homomorphisme de dans . Par la suite, nous

noterons Gl'ensemble des quaternions de norme 1.

2.7.1. INTERPRETATION MATRICIELLE

Soit q et p deux quaternions donnés, soit l'application:

La multiplication (à gauche) peut être faite avec une application linéaire (cf. chapitre d'Algèbre

Linéaire) sur .

Si q s'écrit:

(2.203)

cette application a pour matrice, dans la base 1, i, j, k :

(2.204)

Ce que nous vérifions bien :

(2.205)

En fait, nous pouvons alors définir les quaternions comme l'ensemble des matrices ayant la

structure visible ci-dessus si nous le voulions. Cela les réduirait alors à un sous espace vectoriel

de .

En particulier, la matrice de 1 (la partie réelle du quaternion q) n'est alors rien d'autre que la

matrice identité :

(2.206)

de même :

(2.207) 2.7.2. ROTATIONS

Nous allons maintenant voir que la conjugaison par un élément du groupe G des quaternions de

norme unité peut s'interpréter comme une rotation pure dans l'espace!

Définition: La "conjugaison" par un quaternion q non nul et de norme unité est

l'application définie sur par :

(2.208)

et nous affirmons que cette application est une rotation.

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