Notes sur les nombres quaternions - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres quaternions - 2° partie, Notes de Mathématiques

PDF (296.6 KB)
7 pages
268Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les nombres quaternions - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'application linéaire, le calcul, la configuration initiale, les résultats obtenus.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 7
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Remarques:

R1. Comme q est de norme 1, nous avons bien évidemment donc . Ce

quaternion peut être vu comme la valeur propre (unitaire) de l'application (matricielle) p sur le

vecteur (on se retrouve avec un concept en tout point similaire aux matrices orthogonales de

rotation vues en algèbre linéaire).

R2. est une application linéaire (donc si c'est bien une rotation, la rotation peut être décomposée

en plusieurs rotations). Effectivement, prenons deux quaternions et des réels, alors

nous avons :

(2.209)

Vérifions maintenant que l'application est bien une rotation pure. Comme nous l'avons vu lors de

notre étude de l'algèbre linéaire et en particulier des matrices orthogonales (cf. chapitre d'Algèbre

Linéaire), une première condition est que l'application conserve la norme.

Vérifions :

(2.210)

Par ailleurs, nous pouvons vérifier qu'une rotation d'un quaternion purement complexe (tel

qu'alors nous nous restreignons à ) et la même rotation inverse sommées est nul (le vecteur

sommé à son opposé s'annulent) :

(2.211)

nous vérifions trivialement que si nous avons deux quaternions q,p alors dès lors :

(2.212)

pour que cette opération soit nulle, nous voyons immédiatement que nous devons

restreindre p aux quaternions purement complexes. Dès lors :

(2.213)

Nous en déduisons alors que p doit être purement complexe pour que l'application soit une

rotation et que est un quaternion pur. En d'autres termes, cette application est stable (en

d'autres termes : un quaternion pur par cette application reste un quaternion pur).

restreint à l'ensemble des quaternions est donc une isométrie vectorielle, c'est-à-dire une

symétrie ou une rotation.

Nous avons vu également lors de notre étude des matrices de rotation dans le chapitre d'Algèbre

Linéaire que l'application A devait être de déterminant 1 pour que nous ayons une rotation.

Voyons si c'est le cas de :

Pour cela, nous calculons explicitement en fonction de :

(2.214)

la matrice (dans la base canonique ) de et nous en calculons le déterminant. Ainsi, nous

obtenons les coefficients des colonnes de A en se rappelant que :

(2.215)

et ensuite en calculant :

(2.216)

Il faut alors calculer le déterminant de la matrice (pfff...) :

(2.217)

en se souvenant que (ce qui permet aussi de simplifier l'expression des termes de la diagonale

comme nous pouvons le voir dans certains ouvrages):

(2.218)

nous trouvons que le déterminant vaut bien 1. Sinon, nous pouvons vérifier cela avec Maple:

>with(linalg):

> A:=linalg[matrix](3,3,[a^2+b^2-c^2-d^2,2*(a*d+b*c),2*(b*d-a*c),2*(b*c-a*d),a^2-b^2+c^2-

d^2,2*(a*b+c*d),2*(a*c+b*d),2*(c*d-a*b),a^2-b^2-c^2+d^2]);

> factor(det(A));

Montrons maintenant que cette rotation est un demi-tour d'axe (l'exemple qui peut sembler

particulier est général!) :

D'abord, si:

(2.219)

nous avons :

(2.220)

ce qui signifie que l'axe de rotation (x, y, z) est fixé par l'application elle-même !

D'autre part, nous avons vu que si q est un quaternion purement complexe de norme 1

alors et aussi . Ce qui nous donne la relation:

(2.221)

Ce résultat nous amène à calculer la rotation d'une rotation :

(2.222)

Conclusion : Puisque la rotation d'une rotation est un tour complet, alors est nécessairement

un demi-tour par rapport (!) à l'axe (x, y, z).

A ce stade, nous pouvons affirmer que toute rotation de l'espace peut se représenter par (la

conjugaison par un quaternion q de norme 1). En effet, les demi-tours engendrent le groupe des

rotations, c'est-à-dire que toute rotation peut s'exprimer comme le produit d'un nombre fini de

demi-tours, et donc comme la conjugaison par un produit de quaternions de norme 1 (produit qui

est lui-même un quaternion de norme 1 ...).

Nous allons tout de même donner une forme explicite reliant une rotation et le quaternion qui la

représente, au même titre que nous l'avons fait pour les nombres complexes.

Soit un vecteur unitaire et un angle. Alors nous affirmons que la rotation

d'axe et d'angle correspond à l'application , où q est le quaternion :

(2.223)

Pour que cette affirmation soit vérifiée, nous savons qu'il faut que : la norme de q soit unitaire, le

déterminant de l'application soit égal à l'unité, que l'application conserve la norme, que

l'application renvoie tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation sur l'axe de rotation.

1. La norme du quaternion proposé précédemment vaut effectivement 1 :

(2.224)

2. Le fait que q soit un quaternion de norme 1 amène immédiatement à ce que le déterminant de

l'application soit unitaire. Nous l'avons déjà montré plus haut dans le cas général de n'importe

quel quaternion de norme 1 (condition nécessaire et suffisante).

3. Il en est de même pour la conservation de la norme. Nous avons déjà montré plus haut que

c'était de toute façon le cas dès que le quaternion q était de norme 1 (condition nécessaire et

suffisante).

4. Voyons maintenant que tout vecteur colinéaire à l'axe de rotation est projeté sur l'axe de

rotation. Notons q' le quaternion purement imaginaire et unitaire . Nous avons alors :

(2.225)

Alors:

(2.226)

mais comme q' est la restriction de q à ces éléments purs qui le constituent, cela revient à écrire:

(2.227)

Montrons maintenant le choix de l'écriture . Si désigne un vecteur unitaire

orthogonal à (perpendiculaire à l'axe de rotation donc), et p le quaternion alors

nous avons :

(2.228)

Nous avons montré lors de la définition de la multiplication de deux quaternions que .

Nous obtenons alors :

(2.229)

Nous avons également montré que:

(2.230)

(le demi-tour d'axe (x, y, z)). Donc :

(2.231)

Remarque: Nous commençons à entrevoir ici déjà l'utilité d'avoir écrit dès le début pour l'angle.

Nous savons que p est le quaternion pur assimilé à un vecteur unitaire orthogonal à l'axe de

rotation , lui-même assimilé à la partie purement imaginaire de q'. Nous remarquons alors de

suite que la partie imaginaire du produit (défini!) des quaternions est alors égal au produit

vectoriel . Ce produit vectoriel engendre donc un vecteur perpendiculaireà et

donc .

Le couple forme donc un plan perpendiculaire à l'axe de rotation (c'est comme pour les

nombres complexes simples dans lequel nous avons le plan de Gauss et perpendiculairement à

celui-ci un axe de rotation!).

Alors finalement :

(2.232)

Nous nous retrouvons avec une rotation dans le plan identique à celle présentée plus haut avec les

nombres complexes normaux dans le plan de Gauss.

Nous savons donc maintenant comment faire n'importe quel type de rotation dans l'espace en une

seule opération mathématique et ce en plus par rapport à un libre choix de l'axe !

Nous pouvons aussi maintenant mieux comprendre pourquoi l'algèbre des quaternions n'est pas

commutative. Effectivement, les rotations vectorielles du plan sont commutatives mais celles de

l'espace ne le sont pas comme nous le montre l'exemple ci-dessous :

Soit la configuration initiale :

(2.233)

Alors une rotation autour de l'axe X suivie d'une rotation autour de l'axe Y :

(2.234)

n'est pas égale à une rotation autour de l'axe Y suivie d'une rotation autour de l'axe X :

(2.235)

Les résultats obtenus seront fondamentaux pour notre compréhension des spineurs (cf. chapitre

de Calcul Spinoriel) !

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome