Notes sur les nombres réels, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les nombres réels, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les nombres réels. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'ensemble des nombres réels, la démonstration, les nombres transfinis, les exemples.
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Nombres réels.

Définition: La réunion des nombres rationnels et irrationnels donne "l'ensemble des nombres

réels".

Ce que nous notons:

(2.50)

Remarque: Les mathématiciens dans leur rigueur habituelle ont différentes techniques pour définir les

nombres réels. Ils utilisent pour cela des propriétés de la topologie (entre autres) et en particulier les suites

de Cauchy mais c'est une autre histoire qui dépasse le cadre formel du présent chapitre.

Nous sommes évidemment amenés à nous poser la question si est dénombrable ou non. La

démonstration est assez simple.

Démonstration:

Par définition, nous avons vu plus haut qu'il doit y avoir une bijection entre et pour dire

que soit dénombrable.

Pour simplifier, nous allons montrer que l'intervalle [0,1[ n'est alors pas dénombrable. Ceci

impliquera bien sûr par extension que ne l'est pas!

Les éléments de cet intervalle sont représentés par des suites infinies entre 0 et 9 (dans le système

décimal) :

- Certaines de ces suites sont nulles à partir d'un certain rang, d'autres non

- Nous pouvons donc identifier [0,1[ à l'ensemble de toutes les suites (finies ou infinies) d'entiers

compris entre 0 et 9

n°1

...

...

n°2

...

...

n°3

...

...

n°4

...

...

n°5

...

...

n°6

...

...

...

...

...

n°k

...

...

...

Tableau: 2.2 - Identification et classement de nombres réels

Si cet ensemble était dénombrable, nous pourrions classer ces suites (avec une première, une

deuxième, etc.). Ainsi, la suite serait classée première et ainsi de suite... comme

le propose le tableau ci-dessus.

Nous pourrions alors modifier cette matrice infinie de la manière suivante : a chaque élément de la

diagonale, rajouter 1, selon la règle : 0+1=1, 1+1=2, 8+1=9 et 9+1=0

n°1 +1

...

...

n°2

+1

...

...

n°3

+1

...

...

n°4

+1 ...

...

n°5

...

...

n°6

...

...

...

...

...

n°k

...

...

...

Tableau: 2.3 - Identification et classement de nombres réels

Alors considérons la suite infinie qui se trouve sur la diagonale :

- Elle ne peut être égale à la première car elle s'en distingue au moins par le premier élément

- Elle ne peut être égale à la deuxième car elle s'en distingue au moins par le deuxième élément

- Elle ne peut être égale à la troisième car elle s'en distingue au moins par le troisième élément

et ainsi de suite... Elle ne peut donc être égale à aucune des suites contenues dans ce tableau!

Donc, quel que soit le classement choisi des suites infinies de 0...9, il y en a toujours une qui

échappe à ce classement! C'est donc qu'il est impossible de les numéroter... tout simplement

parce qu'elles ne forment pas un ensemble dénombrable.

C.Q.F.D.

La technique qui nous a permis d'arriver à ce résultat est connue sous le nom de "procédé

diagonal de Cantor" (car similaire à celle utilisée pour l'équipotence entre ensemble naturel et

rationnel) et l'ensemble des nombres réels est dit avoir "la puissance du continu" de par le fait qu'il

est indénombrable.

Remarque: Nous supposerons intuitif pour le lecteur que tout nombre réel peut être approché infiniment

près par un nombre rationnel (pour les nombres irrationnels il suffit de s'arrêter à un nombre de décimales

données et d'en trouver le rationnel correspondant). Les mathématiciens disent alors que est "dense"

dans et notent cela :

(2.51) 2.5.1. NOMBRES TRANSFINIS

Nous nous retrouvons donc avec un "infini" des nombres réels qui est différent de celui des

nombres naturels. Cantor osa alors ce que personne n'avait osé depuis Aristote : la suite des

entiers positifs est infinie, l'ensemble , est donc un ensemble qui a une infinité dénombrable

d'éléments, alors il affirma que le cardinal (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles) de cet ensemble

était un nombre qui existait comme tel sans que l'on utilise le symbole fourre tout , il le nota:

(2.52)

Ce symbole est la première lettre de l'alphabet hébreu, qui se prononce "aleph zéro". Cantor allait

appeler ce nombre étrange, un nombre "transfini".

L'acte décisif est d'affirmer qu'il y a, après le fini, un transfini, c'est-à-dire une échelle illimitée de

modes déterminés qui par nature sont infinis, et qui cependant peuvent êtres précisés, tout

comme le fini, par des nombres déterminés, bien définis et distinguables les uns des autres !!

Après ce premier coup d'audace allant à l'encontre de la plupart des idées reçues depuis plus de

deux mille ans, Cantor allait poursuivre sa lancée et établir des règles de calcul, paradoxales à

première vue, sur les nombres transfinis. Ces règles se basaient, comme nous l'avons précisé tout

à l'heure, sur le fait que deux ensembles infinis sont équivalents s'il existe une bijection entre les

deux ensembles.

Ainsi, nous pouvons facilement montrer que l'infini des nombres pairs est équivalent à l'infini des

nombres entiers : pour cela, il suffit de montrer qu'à chaque nombre entier, nous pouvons

associer un nombre pair, son double, et inversement.

Ainsi, même si les nombres pairs sont inclus dans l'ensemble des nombres entiers, il y en a une

infinité égal, les deux ensembles sont donc équipotents. En affirmant qu'un ensemble peut

être égal à une de ses parties, Cantor va à l'encontre ce qui semblait être une évidence pour

Aristote et Euclide: l'ensemble de tous les ensembles est infini ! Cela va ébranler la totalité des

mathématiques et va amener à l'axiomatisation de Zermelo-Frankel que nous verrons dans le

chapitre de Théorie Des Ensembles.

A partir de ce qui précède, Cantor établit les règles de calculs suivants sur les cardinaux:

(2.53)

À première vue ces règles semblent non intuitives mais en fait elles le sont bien! En effet, Cantor

définit l'addition de deux nombres transfinis comme le cardinal de l'union disjointe des ensembles

correspondants.

Exemples:

E1. En notant donc le cardinal de nous avons qui est équivalent à dire que nous

sommons le cardinal de union disjointe . Or union disjointe est équipotent à donc

(il suffit pour s'en convaincre de prendre l'ensembles des entiers pairs et impairs tout

deux dénombrables dont l'union disjointe est dénombrable).

E2. Autre exemple trivial : correspond au cardinal de l'ensemble union un point. Ce

dernier ensemble est encore équipotent à donc .

Nous verrons également lors de notre étude du chapitre de Théorie Des Ensembles que le concept

de produit cartésien de deux ensembles dénombrables est tel que nous ayons :

(2.54)

et donc :

(2.55)

De même (cf. chapitre de Théorie Des Ensembles), puisque nous avons:

(2.56)

et en identifiant à (rapport d'un numérateur sur un dénominateur), nous avons

immédiatement:

(2.57)

Nous pouvons d'ailleurs démontrer un énoncé intéressant : si nous considérons le cardinal de

l'ensemble de tous les cardinaux, il est nécessairement plus grand que tous les cardinaux, y

compris lui-même (il vaut mieux avoir lu le chapitre de Théorie Des Ensembles au préalable)! En

d'autres termes: le cardinal de l'ensemble de tous les ensembles de A est plur grand que le

cardinal de A lui-même.

Ceci implique qu'il n'existe aucun ensemble qui contient tous les ensembles puisqu'il en existe

toujours un qui est plus grand (c'est une forme équivalent du fameux ancien paradoxe de Cantor).

Dans un langage technique cela revient à considérer un ensemble non vide A et alors d'énoncer

que:

(2.58)

où est l'ensemble des parties de A (voir le chapitre de Théorie des Ensembles pour le calcul

général du cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble dénombrable).

C'est-à-dire par définition de la relation d'ordre < (strictement inférieur), qu'il suffit de montrer

qu'il n'existe pas d'application surjective , en d'autres termes qu'à chaque élément

de l'ensemble des parties de A il ne correspond pas au moins une pré-image dans A.

Remarque: est par exemple constitué de l'ensemble des nombres impairs, pairs, premiers, et

l'ensemble des naturels, ainsi que l'ensemble vide lui-même, etc. est donc l'ensemble de toutes les

"patates" (pour emprunter le vocabulaire de la petite école...) possibles qui forment .

Démonstration (par l'absurde):

L'idée maintenant est de supposer que nous pouvons numéroter chacune des patates

de avec au moins un élément de A (imaginez cela avec ou allez voir l'exemple dans le

chapitre de Théorie Des Ensembles). En d'autres termes cela revient à suppoer

que est surjective et considérons un sous-ensemble E deA tel :

(2.59)

c'est-à-dire l'ensemble d'éléments x de A qui n'appartiennent pas à l'ensemble

numéro x (l'élément x n'appartient pas à la patate qu'il numérote... en d'autres termes).

Or, si f est surjective il doit alors exister aussi un pour ce sous-ensemble E tel que :

(2.60)

puisque E est aussi une partie de A.

Si alors mais de par la définition de E , et nous avons donc une

absurdité de par l'hypothèse de la surjectivité!

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