Télécharge Notes sur les notions de base de géométrie analytique et plus Notes au format PDF de Géométrie analytique et calcul sur Docsity uniquement! Géométrie Analytique – Rappels de collège Février 2005 Introduction Le but est, ici, d’étudier certaines propriétés de géométrie ”pure” à l’aide du calcul. On munit pour cela le plan d’un repère orthonormé R = (O, −→i , −→j ). Autrement dit on choisit un point O appelé origine de R et deux vecteurs −→i et −→ j orthonormés, c’est-à-dire vérifiant : ∥∥∥−→i ∥∥∥ = ∥∥∥−→j ∥∥∥ = 1 et (−→i , −→j ) = π 2 . Un point M quelconque du plan est alors repéré par ces deux coordonnées x et y définies par : −−→ OM = x. −→ i + y. −→ j ; on note alors M(x, y). 1 Les vecteurs 1.1 Définition Définition 1 Etant donnés deux points A et B de coordonnées respectives (x; y) et (x′; y′), on appelle vecteur, l’objet noté −→ AB (ou B − A) défini par : −→ AB = B − A = (x′ − x, y′ − y). La notation B−A, non introduite dans les lycées montre bien que pour calculer les coordonnées d’un vecteur, on soustraie celles du deuxième point avec le premier. 1.2 Propriétés Proposition 1 Soient trois points A, B et C du plan, on a alors : 1. −→ AB = − −→ BA 2. −→ AC = −→ AB + −−→ BC (relation de Chasles) 1 1.3 Colinéarité, orthogonalité 2 3. −→ AB = −→ 0 ⇔ A = B DEMONSTRATION : 1. −→ AB = B − A = −(A−B) = − −→ BA 2. −→ AB + −−→ BC = (B − A) + (C −B) = C − A = −→ AC 3. −→ AB = −→ 0 ⇔ B − A = 0 ⇔ A = B Soit −→u (x, y), −→v (x′, y′) et k un réel. Alors : 1. −→u +−→v (x + x′; y + y′) 2. k−→u = (kl; ky) 3. −→u = −→v ⇔ (x = x′ et y = y′). 2 En d’autres termes, pour additionner deux vecteurs on additionne leur coor- donnés et pour multiplier un vecteur par un réel k, on multiplie ces coordonnées par k. Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coordonnées. 1.3 Colinéarité, orthogonalité Définition 2 Deux vecteurs −→u et −→v sont dits colinéaires s’il existe un réel k tel que −→u = k−→v . Autrement dit leurs coordonnées sont proportionnelles. Proposition 2 −→u (x, y) et −→v (x′, y′) sont colinéaires si et seulement si xy′ − x′y = 0. Notation : le réel xy′ − x′y est noté ∣∣∣∣ x x′y y′ ∣∣∣∣ et est appelé déterminant de ces deux vecteurs. Le fait que deux vecteurs soient colinéaires se traduit par le fait que les droites qu’ils dirigent sont parallèles. Avec les notations précédentes : Proposition 3 −→u et −→v sont orthogonaux si et seulement si xx′ + yy′ = 0.
