Notes sur les notions de représentations graphiques - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les notions de représentations graphiques - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les notions de représentations graphiques - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les représentations planes, La représentation graphique, les représentations 3d.
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REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Les nombres naturels, relatifs, réels ou purement complexes (cf. chapitre sur les Nombres)

peuvent tous êtres représenté le plus simplement du monde par des points sur un axe

numérique (ligne droite) infini.

Pour ce faire, nous choisissons sur cet axe:

1. Un point O appelé "origine"

2. Un sens positif, que nous indiquons par une flèche horizontale

3. Une unité de mesure (représenté habituellement par un petit trait vertical : la "graduation")

Tel que :

(16.1)

Le plus souvent nous disposons (par tradition) l'axe horizontalement et choisissons la direction

de gauche à droite.

Remarque: Le point (lettre) O, représente très fréquemment le nombre zéro en mathématique

mais nous pourrions très bien choisir de mettre l'origine ailleurs. Par exemple, en physique le

point O est souvent positionné à l'emplacement du barycentre d'un système.

Il est évident que le fait que les ensembles de nombres dont nous avons parlé soient ordonnés

implique que tout nombre est représenté par un seul point de l'axe numérique. Ainsi, deux

nombres réels distincts correspondent deux points différents de l'axe numérique.

Ainsi, il existe une correspondance biunivoque entre tous les nombres et tous les points de

l'axe numérique (dans le cas des nombres réels ou complexes, il correspond non pas un

nombre à chaque graduation mais un nombre à chaque point de l'axe). Ainsi, à chaque nombre

correspond un point ou une graduation unique et inversement à chaque point ou graduation

correspond un seul nombre dont il est l'image.

REPRÉSENTATIONS PLANES

Il existe outre les représentations unidimensionnelles d'autres de dimensions supérieures (ouf!)

qui nous permettent de tracer non plus que des simples points sur une droite

unidimensionnelle mais des fonctions d'une variable. Voyons de quoi il s'agit :

Nous pouvons à chaque valeur d'une variable x reportée sur un axe horizontal, appelé "axe des

abscisses" ou "axe des x", faire correspondre une valeur y au travers d'une fonction f :

(16.2)

reportée sur un axe vertical, appelé "axe des ordonnées" ou "axe des y" qui passe par le

croisement défini par l'origine O tel que (exemple arbitraire) :

(16.3)

L'ensemble des points du plan noté sous les variantes XOY, XY ou encore xOy, Oxy, xy, dont les

abscisses représentent par tradition les valeurs de la variable indépendante et les ordonnées les

valeurs correspondantes de la fonction, est appelé "graphique plan" de cette fonction. S'il n'y a

pas de confusion possible nous dirons simplement "graphique".

Dans le cas d'une représentation par un système de coordonnées rectangulaires (cartésien,

polaire ou logarithmique) comme la figure ci-dessus, nous pouvons observer que l'ensemble du

plan des coordonnées est séparé en quatre surfaces que nous avons pour habitude d'appeler

"quadrants".

Remarque: Lorsque nous souhaitons mettre en évidence un point particulier de la fonction

représentée, nous y dessinons un petit rond tel que présenté ci-dessus.

Un autre cas classique de représentation graphique plane connu par un grand nombre

d'étudiants est le tracé des polynômes (cf. chapitre de Calcul Algébrique) à coefficients réels.

Effectivement, pour résoudre les équations polynomiales du second degré (cf. chapitre de

Calcul Algébrique), il est fréquent dans les petites classes que le professeur demande en plus à

ses élèves de donner une expression algébrique des racines de :

(16.4)

données par, rappelons-le :

(16.5)

une résolution graphique où les deux racines (dans le cas où il y en a deux distinctes réelles)

sont données par l'intersection de la parabole avec l'axe des abscisses (bien évidemment, si

l'équation n'a pas de solutions, il n'y a pas d'intersections...) :

(16.6)

La représentation graphique étant généralisable aux équations polynomiales du 3ème, 4ème et

5ème degré (nous démontrerons bien plus loin, à l'aide de la théorie de Galois qu'il n'est pas

possible d'obtenir une expression algébrique générale des racines d'une équation polynômiale

du 5ème degré et supérieur).

De même, les graphiques sont un outil qualitatif puissant dans le domaine des statistiques (cf.

chapitre de Statistiques) comme point de départ de l'analyse de données (histogrammes,

fromages, boîtes à moustaches, radars, nuages de points,...). Les hypothèses et idées qui sont

générées par l'analyse graphique peuvent être investiguées avec des outils statistiques avancés.

Voici par exemple un graphique (histogramme) pris du chapitre de Génie Industriel très courant

dans le domaine des statistiques et de la gestion de projets dans l'industrie mondiale:

(16.7)

Les histogrammes permettent d'observer les distributions et de décider de manière qualitative

si elle s'ajuste à un modèle théorique particulier.

Les graphique peuvent permettre également d'observer les changements au cours du temps de

(séries temporelles, cartes de contrôle):

(16.8)

et encore à bien d'autres choses... que nous verrons tout au long des pages de ce site Internet.

REPRÉSENTATIONS 3D

Bien évidemment, dans le cas d'une fonction trivalente (tridimensionnelle), c'est-à-dire dont un

paramètre dépend de deux autres, le principe reste le même à la différence que le nombre de

quadrants double.

Cette méthode de représentation et d'analyse d'une fonction trivalente était longue à mettre en

place il y a une dizaine d'années mais avec l'aide des ordinateurs en ce 21ème siècle ce

problème (de temps) est assez bien résolu...

Ce type de représentation est suffisamment important en physique appliquée pour que nous y

arrêtions un instant en faisant des exemples typiques sur plusieurs pages des commandes les

plus importantes avec Maple (même s'il existe de nombreux ouvrages sur le sujet c'est trop

important pour que nous omettions ces exemples).

> restart;

> with(plots):

Nous prenons une fonction 3D quelconque:

> f:=(x,y)->12*x/(1+x^2+y^2);

Nous définissons le domaine d'analyse:

> xrange:=-10..10;yrange:=-5..5;

et nous faisons un plot simple:

> plot3d(f,xrange,yrange);

(16.9)

Améliorons un peu l'aspect:

> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchnogrid, grid=[80,50], shading=ZHUE, axes=FRAME,

tickmarks=[3,3,3], labels=[`x`,`y`,`f(x,y)`], labelfont=[TIMES,BOLD,12], title=`Graphique

rempli`, titlefont=[TIMES,BOLD,12], scaling=unconstrained, orientation=[-107,68]);

(16.10)

Traçons les courbes de niveau (cf. chapitre de Géométrie différentielle):

> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour);

(16.11)

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