Notes sur les notions de représentations graphiques - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les notions de représentations graphiques - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les notions de représentations graphiques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les représentations vectorielles, les propriétés des représentations graphiques, les graph...
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C'est pas très beau donc améliorons cela:

> plot3d(f,xrange,yrange,style=patchcontour,contours=[seq(-

7+k/4,k=0..60)],grid=[80,50],shading=ZHUE,axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3],

scaling=unconstrained,orientation=[-107,68]);

(16.12)

Avec une petite rotation pour voir du dessus:

> plot3d(f,xrange,yrange, style=patchcontour, contours=[seq(-7+k/4,k=0..60)], grid=[80,50],

shading=ZHUE, axes=FRAME, tickmarks=[3,3,3], scaling=unconstrained, orientation=[-90,0]);

(16.13)

Et en coupe:

> plot(f(x,2),x=xrange);

(16.14)

Ou avec des coupes multiples:

>display([seq(plot(f(x,y),x=xrange),y=yrange) ]);

(16.15)

Le lecteur pourra aussi animer le précédent graphique avec la commande suivante:

> display([seq(display([plot(f(x,k/5),x=xrange),

textplot([6,5,cat(`y=`,convert(evalf(k/5,2),string))],font=[TIMES,BOLD,16])]),k=-

25..25)],insequence=true, title=`Animation`,titlefont=[TIMES,BOLD,18]);

voilà pour un exemple typiquement simple des manipulations standards d'un ingénieur dans

l'entreprise utilisant des graphiques.

REPRÉSENTATIONS VECTORIELLES

Il est aussi fréquemment fait usage des représentations graphiques dans le cadre de la

géométrie analytique pour simplifier les analyses ou faire des démonstrations de théorèmes

connus sous forme visuelles (il faut cependant ne pas en abuser!).

Ainsi, nous pouvons introduire par exemple le concept de norme (cf. chapitre de Calcul

Vectoriel) de manière simpliste en représentant graphiquement la distance entre deux points et

en appliquant le théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie Euclidienne) qui sera

supposé connu.

Ainsi, représentons trois points sur un graphique plan dans lequel a été défini un

repère tel que présenté dans le graphique ci-dessous :

(16.16)

Si et (comme sur la figure ci-dessus), les points sont les sommets

d'un triangle rectangle. Par application du théorème de Pythagore (cf. chapitre de Géométrie

Euclidienne) :

(16.17)

Sur la figure, nous voyons que :

et (16.18)

Puisque , nous pouvons écrire :

(16.19)

Si , nous nous retrouvons avec une relation appelée "norme", "module" ou encore

"distance" que nous avions déjà défini dans le cadre de note étude de l'analyse vectorielle (cf.

chapitre de Calcul Vectoriel).

Bien évidemment, si nous considérons deux points , nous pouvons

déterminer si un troisième point est sur la médiatrice (cf. chapitre de Géométrie

Euclidienne) des deux premiers et qu'il suffit pour cela que bien évidemment (par définition

même de la médiatrice) :

(16.20)

Comme sont connus, nous pouvons facilement exprimer une "expression

analytique" de la médiatrice du type :

(16.21)

où a, b sont des constantes et où tout point qui satisfait cette relation, qui est en l'occurrence

l'équation d'une droite, se trouve sur la médiatrice.

Par ailleurs, il est aisé de visualiser que le point milieu du segment de droite est donné par :

(16.22)

Donc nous voyons qu'avec une simple représentation graphique, nous pouvons obtenir des

résultats qui sont parfois (...) plus évident pour les étudiants.

Profitons de cet exemple pour définir quelques concepts sur lesquels nous reviendrons et faire

quelques rappels.

Définition: Toute fonction de la forme d'un polynôme (cf. chapitre de Calcul Algébrique) de

degré 1 à coefficients réels constants :

(16.23)

est l'expression analytique de ce que nous appelons une "droite" de "pente" a et "d'ordonnée à

l'origine" b (quand ) .

Bien évidemment, si :

(16.24)

la droite est horizontale si nous la représentons graphiquement puisque y est constant pour

tout x et vaut alorsb. Inversement, si :

(16.25)

la droite est une verticale.

PROPRIÉTÉS DES REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES

Selon le type de graphique que nous visualisons (en particulier les graphiques plans) il est

possible d'extraire certaines propriétés de base. Voyons les plus importantes à connaître pour

les graphiques plans d'une fonction à une variable :

(16.26)

P1. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées si le

changement de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que :

(16.27)

P2. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'axe des abscisses si le

changement de y en -y ne modifie pas la valeur de l'équation tel que :

(16.28)

P3. Le graphique d'une fonction est symétrique par rapport à l'origine si le changement

simultané de y en -y et de x en -x ne modifie pas la valeur de l'équation tel que :

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