Notes sur les notions de représentations graphiques - 3° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les notions de représentations graphiques - 3° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les notions de représentations graphiques - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les représentations analytiques, le domaine naturel de définition.
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(16.29)

P4. Soit une fonction , si nous ajoutons une constante à cette fonction tel que

nous écrivions :

(16.30)

alors le graphique de f est déplacé (ou "translaté") verticalement vers le haut d'une

distance tel que présenté sur la figure suivante:

(16.31)

Et inversement si mais que :

(16.32)

alors le graphique est bien évidemment translaté verticalement vers le bas:

(16.33)

Nous pouvons aussi envisager des translations horizontales de graphiques. Précisément,

si , alors est translaté horizontalement vers la droite si nous écrivons :

(16.34)

ce qui graphiquement est représenté par:

(16.35)

et inversement, translaté horizontalement vers la gauche, si nous écrivons :

(16.36)

comme le montre le graphique ci-dessous:

(16.37)

Pour étirer ou comprimer verticalement un graphique, il suffit de multiplier la

fonction par une constante et respectivement tel que :

(16.38)

ce que nous pouvons représenter graphique par:

(16.39)

et:

(16.40)

Pour étirer ou comprimer horizontalement un graphique, il suffit de même, de multiplier la

fonction par une constante et respectivement ou tel que :

(16.41)

ce que nous pouvons représenter sous forme graphique:

(16.42)

et:

(16.43)

Remarque: Translater, étirer, comprimer un graphique ou lui faire subit une symétrie c'est le

transformer. Le graphique résultant de ces transformations est appelé le "transformé" du

graphique de départ.

Définitions: Nous disons qu'une fonction f est :

- Une "fonction croissante" ou "fonction croissante au sens large" sur I si pour

tout couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que

nous notons de manière condensée:

(16.44)

- Une "fonction décroissante" ou "fonction décroissante au sens large" sur I si pour tout

couple , d'éléments de I tels que , nous avons . Ce que nous

notons de manière condensée:

(16.45)

Remarque: Une "fonction monotone" ou "fonction monotone au sens large" sur I si elle est

croissante sur I ou décroissante.

-Une "fonction strictement croissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels

que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

(16.46)

- Une "fonction strictement décroissante" sur I si pour tout couple , d'éléments de I tels

que , nous avons . Ce que nous notons de manière condensée:

(16.47)

Remarque: Nous disons qu'une "fonction strictement monotone" sur I si elle est strictement

croissante sur I ou strictement décroissante sur I.

REPRÉSENTATIONS ANALYTIQUES

Le mode de représentation analytique est de loin le plus utilisé et consiste à représenter toute

fonction en une "expression analytique" qui est la notation mathématique symbolique et

abstraite de l'ensemble des opérations mathématiques connues que l'on doit appliquer dans un

certain ordre à des nombres et des lettres exprimant des grandeurs constantes ou variables que

nous cherchons à analyser.

Remarquons que par ensemble des opérations mathématiques connues, nous envisageons non

seulement les opérations mathématiques vues dans la section arithmétique (addition,

soustraction, extraction de la racine, etc.) mais également toutes les opérations qui seront

définies au fur et à mesure dans le présent site internet.

Si la dépendance fonctionnelle est telle que f est une expression analytique, nous

disons alors que la "fonction y de x" est "donnée analytiquement". Voici quelques exemples

d'expressions analytiques simples :

, , (16.48)

Lorsque nous avons déterminé l'équation de la médiatrice, nous avons obtenu une expression

analytique de la droite visuelle qui l'a caractérise sous la forme d'une fonction du type :

(16.49)

qui rappelons-le, est donc l'expression analytique l'équation d'une droite, appelée également

"équation linéaire" ou "fonction affine", sur un plan dont si deux

points sont connus, la pente est donnée par le rapport de l'accroissement

vertical sur l'accroissement horizontal tel que :

(16.50)

Une application sympathique et triviale consiste à démontrer analytiquement que deux droites

non verticales sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. Ainsi, soit deux droites

données par les équations :

(16.51)

Les droites se coupent en un point (x, y) si et seulement si les valeurs de y sont égales pour un

certain x, c'est-à-dire :

(16.52)

La dernière équation peut être résolue par rapport à x si et seulement si . Nous

avons donc montré que les droites se coupent si et seulement si . Donc, elles ne

se coupent pas (elles sont parallèles) si et seulement si .

De façon assez simple en appliquant le théorème de Pythagore, il n'est pas compliqué de

déterminer que l'équation d'un cercle de centre C(h, k) à pour équation (nous avons pour

habitude en mathématique de ne pas expliciter y pour l'équation du cercle ainsi, l'équation de

ce dernier est visuellement beaucoup plus esthétique et parlante)

(16.53)

Dans ces exemples les fonctions sont exprimées analytiquement par une seule formule (égalité

entre deux expressions analytiques) qui définit dans un même temps le "domaine naturel de

définition" des fonctions.

Définition: Le "domaine naturel de définition" d'une fonction donnée par une expression

analytique est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles l'expression du membre droit a une

valeur bien déterminée.

Par exemple, la fonction :

(16.54)

est définie pour toutes les valeurs de x, excepté la valeur où nous avons une singularité

(division par zéro).

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