Notes sur les objets de la géométrie euclidienne, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les objets de la géométrie euclidienne, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les objets de la géométrie euclidienne. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la géométrie plane, les notions expérimentales, les dimensions.
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Géométrie euclidienne.

L'objet de la "géométrie euclidienne" (appelée plus communément "géométrie plane") est, en principe, l'étude des formes et des propriétés des corps naturels. La géométrie n'est cependant

pas une science expérimentale, puisque son objet est, non pas d'étudier certains aspects de la

nature, mais une reproduction nécessairement arbitraire de celle-ci.

Nous allons dans ce chapitre présenter implicitement, dans un premier temps, les cinq postulats

de la géométrie euclidienne (dont les quatre premiers sont considérés aujourd'hui comme des

axiomes) et ensuite développer autour de ceux-ci la géométrie de base que le lecteur aura besoin

pour l'étude du reste du site. Une fois ceci fait, nous résumerons notre étude en présentant de

manière explicite les cinq postulats d'Euclide et ensuite les axiomes de Hilbert.

Remarque: Nous avons tenté de préserver au mieux les notations propres à Euclide en ayant toutefois une

approche plus moderne de certains concepts et de présenter uniquement ceux qui sont utiles à l'ingénieur

sur le marché du travail.

Objets de la géométrie euclidienne

Avant d'énoncer les cinq postulats, il nous semble bon de définir quelque concepts intuitifs au

préalable :

D1. La notion expérimentale la plus simple est celle de "volume". Nous disons qu'un corps occupe

un certain volume lorsqu'il occupe dans l'espace à trois dimensions une certaine place (pour des

espaces à des dimensions supérieures, nous parlons d'hyper-volumes).

D2. Nous admettrons comme une chose évidente qu'un volume est limité par une "surface"; mais

si l'existence du volume est physiquement contrôlable et mesurable, la surface est une création de

l'esprit; c'est quelque chose d'analogue à une baudruche, par exemple, enveloppant un volume

quelconque, mais d'analogue seulement. C'est un être géométrique à deux dimensions sans

épaisseur.

D3. Lorsqu'une surface est limitée, cette limite est une "ligne". Ici encore, la ligne est une création

de l'esprit, une ligne n'a pas d'existence expérimentale; c'est quelque chose d'analogue à la figure

formée par un fil de fer. Etre géométrique encore mais d'une dimension sans hauteur ni largeur.

D4. Une "droite" est définie comme la ligne de plus court chemin joignant deux points sur une

surface.

D5. Quand une ligne est limitée, sa limite est un "point": le point est quelque chose d'analogue à

l'intersection de deux fils tendus. C'est encore une création de l'esprit, un être géométrique.

Remarque: Il est d'usage, en géométrie, de représenter un point par une lettre A, B,...; une ligne, ou une

surface par une lettre entre parenthèses (mais cela est rarement respecté car nous supposons souvent que

le lecteur sait de quoi nous parlons). Nous disons alors, par exemple: la ligne (L), la surface (S).

D6. L'expression le "segment" AB désigne en général une ligne limitée par les points A et B. Nous

dirons qu'un point M est sur le segmentAB, pour traduire le fait suivant: tout segment AB peut être

séparé d'une infinité de façons en deux morceaux limités par A et M d'une part, par M et B d'autre

part - fait inspiré au géomètre par la possibilité de couper expérimentalement un bout de fil de fer

en deux, et cela d'une infinité de façons (nous y reviendrons lors plus loin)

Remarque: L'expression: "la ligne (L) est tracée sur une surface (S)" signifie que la surface (S) pourrait être

divisée en plusieurs morceaux, de manière que la ligne (L) soit la frontière ou une partie de frontière d'un

de ces morceaux. Cette définition est inspirée du fait qu'il est possible de découper une étoffe, par

exemple, en suivant avec des ciseaux un trait quelconque tracé sur cette étoffe.

Lorsqu'une ligne (L) est tracée sur une surface (S), tout point M qui est situé sur la ligne (L) est

aussi, par définition, situé sur la surface (S). Nous disons alors que c'est un "point de cette

surface".

D7. Nous appelons "angle" (ou "angle plan") ou plus rigoureusement "angle rectiligne" la portion

de plan limitée par deux demi-droites (voir plus loin la définition d'une demi-droite)

DIMENSIONS

Nous avons parlé de volume, surface et de ligne auxquelles nous pouvons associer des

dimensions. Mais qu'est-ce une dimension au fait ? Nous allons tâcher d'essayer de définir au

mieux cette dernière mais d''abord, il faut savoir qu'il existe en géométrie plusieurs types de

dimensions. La plus connue et commune est celle que nous appelons la "dimension topologique".

Par exemple, le point (abstraction mathématique et géométrique) à une dimension topologique de

0, la courbe (trait continu d'épaisseur nulle) une dimension de 1, la surface une dimension de 2,

un volume une dimension de 3 et un hyper-volume une dimension 4 (pour représenter un hyper-

volume, prenez un volume dessiné sur papier (...) et faites en une translation et reliez les

sommets) Ce sont toutes des valeurs entières par définition :

Tableau: 21.1 - Objets, représentations et dimensions types

Pour calculer la dimension de certains objets, nous allons utiliser la méthode de la géométrie

métrique plane qui consiste à un étalon de cet objet, c'est à dire cet objet lui même mais en plus

petit, et nous allons le reporter sur notre objet un certain nombre de fois :

(21.1)

Soit L la longueur totale du segment. Nous allons prendre un étalon de longueur n que nous allons

reporter sur le segment. Cet étalon sera reporté L/n fois. Nous remarquons que:

(21.2)

Nous pouvons appliquer le même raisonnement à une surface:

(21.3)

Soit la surface totale du carré. Cette fois, nous prenons un autre carré, plus petit, de côté n et

de surface . Nous reportons le petit carré sur le grand fois pour obtenir la surface du

grand carré. Nous remarquons que:

(21.4)

Dans ces deux exemples, nous avons fait apparaître le nombre 1 pour le segment, et le nombre 2

pour le carré. Ces nombres sont la "dimension" de l'objet.

Généralisons: soit N le nombre de fois que nous reportons l'étalon de longueur n sur notre objet

de longueur L, et soit d la dimension de l'objet, nous avons:

(21.5)

Dans le cas des fractales (cf. chapitre sur les Fractales) les dimensions sont variables et

fractionnaires. Considérons la courbe de Von Koch (par exemple) après une itération de la suite la

définissant:

(21.6)

Soit L sa taille tel que . Pour calculer sa dimension nous prenons l'élément fondamental de la

courbe (ci-dessous en rouge):

(21.7)

Soit n la taille de cet étalon tel que . Nous voyons très bien que nous pouvons le reporter 4

fois sur la courbe. Donc:

(21.8)

Le dimension de Van Koch à donc une valeur fractionnaire.

Nous pouvons donc calculer la dimension de n'importe quels objets fractals à la condition de

connaitre leurs mesures.

Ne nous hasardons pas à aller chercher des objets complexes dans quelques galaxies alors que la

fractale la plus connue se trouve dans votre assiette. Eh oui ! Le chou-fleur est bien un fractal !

Vous avez sûrement déjà remarqué que quand nous découpons le chou-fleur, nous le cassons au

lieu de le couper, et ça donne plein de petits choux-fleurs, qui eux même peuvent donner d'autres

plus petits choux-fleurs. Cette particularité d'autosimilarité à différentes échelles fait du chou-

fleur un fractal.

Calculons à présent la dimension fractale du chou-fleur. Quand nous cassons le chou-fleur, nous

obtenons entre 12 et 14 branches qui ressemblent au chou-fleur entier à une dilatation près.

Cette dilatation est, si nous la calculons, de facteur 3. Donc, selon la formule ci-dessus, la

dimension du chou-fleur est d'environ:

(21.9)

Il existe également d'autres dimensions. Prenons pour exemple, les "dimensions d'homothétie"

dont voici quelques exemples simples (voir plus loin la définition rigoureuse de "l'homothétie") :

(21.10)

Le segment (tout à gauche), de dimension 1 a par homothétie, vu sa longueur, doublé et nous

remarquons que:

(21.11)

Le carré (au milieu), de dimension 2 a par homothétie, vu sa surface, doublé et nous remarquons

que:

(21.12)

Le cube (tout à droite), de dimension 3 a par homothétie vu son volume doublé et nous

remarquons que:

(21.13)

Le facteur de duplication d'échelle (homothétie) est donc égal à:

(21.14)

Comme vous pouvez le voir, il s'agit toujours d'une valeur entière mais d'un autre type de

dimension.

Le concept de dimensions ayant été introduit intéressons nous maintenant aux postulats d'Euclide

qui pourront paraître vagues dans un premier temps mais qui seront détaillés au fur et à mesure

de notre lecture.

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