Notes sur les opérateurs différentiels - 1° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les opérateurs différentiels - 1° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les opérateurs différentiels - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la définition, les gradients d'un champ scalaire, les gradients d'un champ de vecteurs, les divergences...
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OPRÉRATEURS DIFFÉRENTIELS

Définition: Un champ scalaire, vectoriel ou tensoriel, dans un volume V, est une application qui, à

tout point de ce volume V, associe respectivement une grandeur scalaire, vectorielle ou

tensorielle.

Ainsi, l'application f qui, à tout point de V, de coordonnées spatiales x, y, z associe la valeur

scalaire est un champ scalaire dans V.

En chaque point d'un volume traversé par un fluide en mouvement, le vecteur qui coïncide à

chaque instant avec la vitesse de la particule changeante qui passe en ce point à ce même instant

définit un champ vectoriel 3D, éventuellement variable dans le temps. Les champs ainsi définis

constituent un outil mathématique de base dans l'ensemble de la physique.

Remarque: Lorsque nous représentons graphiquement un champ scalaire, l'ensemble des points

continus de valeur égale constituent ce que l'on appelle des "isolignes" ou plus couramment

"courbes de niveau".

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels

linéaires du premier ordre que nous allons présenter ici. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que

des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du

laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles d'ordre 2.

Nous les rencontrerons en particulier en mécanique des fluides et en électromagnétisme ainsi que

physique quantique ondulatoire où ils permettent d'exprimer facilement certaines propriétés.

GRADIENTS D'UN CHAMP SCALAIRE

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en champ de

vecteurs. Intuitivement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ

scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la

ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

Soit un champ scalaire tridimensionnel , où x et y et zsont les coordonnées cartésiennes

d'un point M de l'espace. LorsqueM se déplace dans l'espace selon le vecteur de

composantesdx, dy et dz, le champ scalaire f varie de df selon la différentielle totale:

(12.175)

A partir de cette relation, nous pouvons définir "l'opérateur gradient" d'un champ scalaire tel que:

(12.176)

où :

(12.177)

est un terme vectoriel appelé le "gradient du champ scalaire f". Pour condenser l'écriture, nous

utilisons parfois le symbole nommé le "nabla du champ scalaire f".

Le vecteur obtenu par le calcul du gradient a les quatre propriétés suivante :

P1. Ses composantes représentent la variation (pente) de la fonction fselon les différentes

directions de l'espace.

P2. Sa norme est la variation maximale de f en fonction de la distance.

P3. Sa direction est selon la variation maximale de f en fonction de la distance.

P4. Le sens indique les valeurs où f augmente.

A partir de la définition et de la différentielle totale, nous obtenons

(12.178)

Ce qui nous amène à poser que:

(12.179)

et donc que finalement l'opérateur "gradient en coordonnées cartésiennes" est donné par :

(12.180)

Finalement nous voyons que le gradient d'un champ scalaire est le champ vectoriel dont

les composantes en chaque point sont les trois dérivées du champ scalaire f par rapport aux trois

coordonnées spatiales, notées ici x, y, z.

La variation de f pour un déplacement est donc le produit scalaire de par le gradient du

champ f. Or, un déplacement infinitésimal effectué le long d'une isoligne (décrivant une

isosurface), du champ scalaire tridimensionnel f(x, y, z) n'engendre aucune variation df de f. Le

produit scalaire évoqué est donc nul dans ce cas, ce qui implique que et sont

perpendiculaires.

En considérant cette fois un déplacement perpendiculaire aux isolignes, nous montrons facilement

que le vecteur gradient de f est dirigé depuis les faibles valeurs de f vers les fortes valeurs de f.

Son module étant d'autant plus grand que f varie rapidement au voisinage du point considéré.

Par sa direction, son sens et son module, le vecteur gradient d'un champ en un point comporte

donc des indications sur la manière dont varie le champ autour de ce point.

Remarque: Une des conditions nécessaire et suffisante pour qu'un champ de vecteurs soit le

gradient d'un champ scalaire f est que ce champ vectoriel soit irrotationnel (voir plus loin l'opérateur

rotationnel d'un champ vectoriel).

Après avoir défini le gradient en coordonnées cartésiennes x, y, z nous devons nous intéresser à

l'expression de cet opérateur dans d'autres systèmes de coordonnées. Il est fréquent en physique

d'avoir à utiliser les coordonnées cylindriques, polaires et sphériques pour simplifier l'étude

formelle de systèmes physiques. Ainsi, si nous faisons référence à notre étude des systèmes de

coordonnées, nous avons (rappel) d'abord en coordonnées polaires:

(12.181)

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées

polaires la définition suivante:

(12.182)

Si nous exprimons la différentielle totale exacte (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral)

de df nous obtenons les relations suivantes:

(12.183)

Ce qui nous permet d'obtenir la relation:

(12.184)

donc :

(12.185)

ce qui nous amène à :

(12.186)

Ainsi le "gradient en coordonnées polaires" s'exprime comme:

(12.187)

Occupons nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées cylindriques. Rappelons

que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les

coordonnées cylindriques:

(12.188)

Donc nous savons déjà que l'expression du gradient en coordonnées cylindriques sera identique à

celle en coordonnées polaires à l'exception de l'ajout de la composante verticale z indépendante

des autres coordonnées. Ainsi, nous obtenons l'opérateur "gradient en coordonnées cylindriques" :

(12.189)

Occupons nous maintenant de l'expression du gradient en coordonnées sphériques. Rappelons

que lors de l'étude des différents systèmes de coordonnées nous avons obtenu pour les

coordonnées sphériques:

(12.190)

Or, avec la définition du gradient en coordonnées cartésiennes, nous avons en coordonnées

sphériques la définition suivante:

(12.191)

Si nous exprimons la différentielle totale de df nous obtenons les relations suivantes:

(12.192)

Ce qui nous permet d'obtenir la relation (nous utilisons maintenant la notation qui use de

l'opérateur "nabla"):

(12.193)

La relation:

(12.194)

Nous impose:

(12.195)

Ainsi l'opérateur "gradient en coordonnées sphériques" s'exprime comme:

(12.196)

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions du gradient dans les systèmes cartésiens,

polaires, cylindriques et sphériques.

GRADIENTS D'UN CHAMP DE VECTEURS

Le gradient d'un champ vectoriel est le champ dit "champ tensoriel" défini par les 9

relations suivantes en coordonnées cartésiennes:

(12.197)

Nous utiliserons un tel gradient lors de notre étude dans le chapitre de Génie Météo de l'effet

Papillon dont l'origine vient de la détermination des équations de Navier-Stokes en Mécanique des

Milieux Continus.

Par les 4 relations suivantes en coordonnées polaires:

(12.198)

Par les 9 relations suivantes en coordonnées cylindriques:

(12.199)

Par les 9 relations suivantes en coordonnées sphériques:

(12.200)

Nous avons donc finalement vu toutes les expressions du gradient d'un champ vectoriel dans les

systèmes cartésiens, polaires, cylindriques et sphériques.

DIVERGENCES D'UN CHAMP DE VECTEURS

La divergence s'applique à un champ de vecteurs et le transforme en un champ de scalaires.

Intuitivement, et dans les cas le plus courant, la divergence d'un champ vectoriel exprime sa

tendance à provenir ou converger vers certains points.

Cependant, il faut distinguer deux contributions à la divergence que nous définirons

rigoureusement un peu plus loin : l'une due aux variations de direction appelée la "divergence

directionnelle" et l'autre due aux variations de modules (norme) appelée la "divergence modulaire".

Ainsi, pour des champs simples, nous pouvons imaginer des cas où la divergence ne serait que

modulaire et d'autres, où elle ne serait que directionnelle. Nous pourrions aussi construire un

champ où les deux types de divergence coexistent, mais d'effets contraires (convergence

modulaire et divergence directionnelle par exemple).

Prenons par exemple un vecteur de l'espace et faisons lui traverser une surface S quelconque.

Les physiciens assimilent alors la quantité qui se dirige suivant la normale à la surface au flux

de à travers S .

Pour se convaincre de cette analogie nous pouvons imaginer un fluide coulant sur une surface

plane, le flux à travers la surface est évidemment nul, par contre si le fluide coule verticalement à

travers une surface horizontale le flux sera maximal. Il est alors immédiat de vouloir représenter le

flux par le produit scalaire de avec la normale de la surface S.

Remarque: Il faut toujours prendre garde à la direction de car en un point quelconque d'une

surface on a en général deux normales.

Si la surface est plane la normale est la même partout mais si elle change suivant les endroits,

nous nous intéresserons alors à un petit élément de surface ds.

Si un petit élément de flux est défini par :

(12.201)

alors le flux total sera donné par :

(12.202)

ce qui est parfois noté (c'est un peu abusif mais pourquoi pas...) :

(12.203)

Supposons maintenant que notre vecteur déplace un point de l'espace

en à travers un parallélépipède rectangle de côtés dx, dy et dz :

(12.204)

Nous pouvons décomposer le mouvement (flux) à travers chaque face du parallélépipède

(décompositions dans la base orthonormée). Par exemple, si nous nous intéressons à l'élément

décomposé du flux à travers la face (dy,dz) décrite par les sommets BCFG nous avons bien

évidemment .

Il nous faut encore déterminer comment représenter le flux pour cette direction. Comme le flux

est une fonction, c'est-à-dire que chacune de ces composantes peut être dépendante des trois

composantes de l'espace (si nous prenons le cas particulier d'une fonction dans ) nous avons :

(12.205)

Remarque: Ceux qui ne sont pas convaincus peuvent aller lire le début du chapitre

d'électrodynamique où nous prenons le champ électrique comme (excellent) exemple.

Alors la variation du flux selon x sera donnée par :

(12.206)

ce qui nous donne :

(12.207)

De même pour les deux autres faces :

(12.208)

d'où en sommant :

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