Notes sur  les opérateurs différentiels - 3° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les opérateurs différentiels - 3° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les opérateurs différentiels - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le théorème de Stokes, le théorème de Green.
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qui établit donc une relation entre l'intégrale curviligne et l'intégrale de surface (on transforme

donc une intégrale curviligne sur un parcours fermé en une intégrale de surface délimitée par ledit

parcours).

En d'autres termes, le rotationnel se calcule en utilisant le fait que la circulation autour d'un circuit

élémentaire fermé d'un champ de vecteurs est égal au flux de son rotationnel à travers la surface

élémentaire immédiate engendrée par ce circuit.

Ceci est le "théorème de Stokes" (qui est plus rigoureusement démontrable avec un formalisme

mathématique assez lourd) qui est donc en fait une définition de l'opérateur rotationnel dont nous

allons chercher l'expression mathématique explicite :

Soit un champ vectoriel défini dans un espace donné. Nous voulons donc calculer la circulation

du autour d'un contour fermé C :

(12.249)

Nous choisissons comme contour C le contour d'un rectangle infinitésimal de côté plongé

dans et parallèle au plan xOy (remarquez que nous parcourons le contour de façon a toujours

avoir la surface à notre gauche) :

(12.250)

Pour les deux côtés horizontaux, la contribution à la circulation est :

(12.251)

Ce qui nous autorise à écrire :

(12.252)

De même, pour les faces verticales :

(12.253)

Ainsi, nous avons la circulation selon z :

(12.254)

Ce qui s'écrit aussi sous la forme générale traditionnelle suivante :

(12.255)

et constitue le non moins fameux "théorème de Green" ou appelé encore "théorème de Green-

Riemann" que nous retrouverons dans le chapitre d'Analyse Complexe.

Et que nous écrirons dans le cas qui nous intéresse :

(12.256)

Par permutation circulaire nous obtenons alors :

(12.257)

Soit sous forme vectorielle condensée :

(12.258)

Ce qui permet de mieux comprendre la notation, ou la définition non intuitive du rotationnel dans

beaucoup d'ouvrages et qui est :

(12.259)

soit le produit vectoriel de l'opérateur gradient avec le champ vectoriel.

Donc nous avons finalement démontré le théorème de Stokes qui donne bien :

(12.260)

et en même temps le rotationnel en coordonnées cartésiennes.

Cherchons maintenant à déterminer l'expression du rotationnel en coordonnées cylindriques ((le

rotationnel en coordonnées polaires n'étant pas définissable).

En réutilisant la même technique que pour le rotationnel en coordonnées cylindriques, nous

écrivons la circulation de le long d'un contour correspondant à un petit morceau de cylindre

orthogonal à (Oz) : .

(12.261)

Nous avons alors en fixant z (attention le n'a rien à voir avec le r du rayon du cylindre... la

notation peut être confuse nous en sommes désolé!) :

(12.262)

la circulation totale donne donc après regroupement des termes :

(12.263)

Nous ne pouvons pas à cette étape directement comparer avec le rotationnel car il nous est

difficile de faire apparaître la différentielle de la surface si nous regardons les différentielles qui

apparaissent actuellement dans la circulation. Le mieux est alors tout diviser par :

(12.264)

Donc :

(12.265)

Maintenant nous déterminons le rotationnel en fixant . Le problème revient à avoir donc un

rectangle dans l'espace que nous parcourons pour déterminer la circulation. Or, nous savons déjà

ce qu'est le résultat du rotationnel pour un rectangle en coordonnées cartésiennes :

(12.266)

à la différence que dans les coordonnées cylindrique il faut substituer z par

, x par z, y par r, par et finalement par (ce choix s'impose toujours simplement

parce que le circulation se fait de telle manière que la surface soit toujours à notre gauche) . Ce

qui nous donne :

(12.267)

Il ne nous reste plus qu'à trouver la composante du rotationnel en r (soit quand r est fixé). Le

calcul est alors plus délicat puisqu'il s'agit de parcourir (positivement toujours!) une surface

courbée par la variation de l'angle .

Nous avons alors en fixant r :

(12.268)

la circulation totale donne donc après regroupement des termes :

(12.269)

Nous ne pouvons pas à cette étape directement comparer avec le rotationnel car il nous est

difficile de faire apparaître la différentielle de la surface si nous regardons les différentielles qui

apparaissent actuellement dans la circulation. Le mieux est alors tout diviser par :

(12.270)

Donc finalement :

(12.271)

Et finalement le rotationnel en coordonnées cylindriques dans sa globalité est donné par :

(12.272)

Le lecteur pourrait aisément vérifier que ce résultat est simplement le gradient en coordonnées

cylindriques appliqué au champ vectoriel .

Pour s'en persuader, montrons maintenant directement l'expression du rotationnel en

coordonnées sphériques directement en montrant ceci via le produit vectoriel du gradient en

coordonnées sphériques avec le champ vectoriel .

D'abord rappelons que nous avons obtenu pour le gradient en coordonnées sphériques :

(12.273)

Donc il vient :

(12.274)

ce que nous pouvons aussi écrire en décomposant à l'aide des vecteurs de base :

(12.275)

A l'aide des dérivées partielles que nous avions démontrées lors de notre introduction plus haut

du système de coordonnées sphériques il vient :

(12.276

)

Les produits vectoriels avec le vecteur colinéaires s'annulent. Il reste donc :

(12.277)

Comme le produit vectoriel de deux vecteurs de base donne le vecteur orthogonal correspondant

(positivement ou négativement) nous avons alors :

(12.278)

En regroupant les termes il vient :

(12.279)

Soit en simplifiant :

(12.280)

Soit finalement :

(12.281)

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