Notes sur les opérations dans les bases, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les opérations dans les bases, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les opérations dans les bases. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la méthode d'orthogonalisation de Schmidt, les changements de bases, les bases réciproques.
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OPÉRATIONS DANS LES BASES

L'intérêt du physicien pour le calcul tensoriel, est le passage de paramètres d'une base à une

autre pour des raisons données (souvent dans le but soit de simplifier l'étude de problèmes ou

simplement parce que les états étudiés dépendant - ou peuvent dépendre - de la géométrie de

l'espace dont il est question). Il convient donc d'introduire les principaux outils qui y sont

relatifs. Nous en profiterons aussi pour présenter des développements que nous aurions pu

déjà aborder dans le chapitre de Calcul Vectoriel.

MÉTHODE D'ORTHOGONALISATION DE SCHMIDT

La "méthode d'orthogonalisation de Schmidt" (dite également de "Grahm-Schmidt") permet le

calcul effectif d'une base orthogonale pour tout espace vectoriel pré-euclidien (nous aurions

pu présenter cette méthode dans le chapitre de Calcul Vectoriel mais il nous semblait plus

intéressant de la présenter dans le cas général et esthétique du calcul tensoriel).

Pour cela, considérons un ensemble de n vecteurs linéairement

indépendants de et supposons que nous ayons pour chaque vecteur le

produit scalaire (la norme) :

(14.110)

Cherchons n vecteurs orthogonaux entre eux. Partons pour cela de et

cherchons orthogonal à sous la forme:

(14.111)

Le coefficient se calcule en écrivant la relation d'orthogonalité:

(14.112)

Nous en déduisons sans trop de peine:

(14.113)

La paramètre étant déterminé, nous obtenons le vecteur qui est orthogonal à et non

nul puisque le système est linéairement indépendant.

Le vecteur est cherché sous la forme:

(14.114)

Les deux relations d'orthogonalité: et , permettent le calcul des

coefficients et . Nous obtenons:

; (14.115)

ce qui détermine le vecteur , orthogonal à et , et non nul puisque le

système est indépendant. En continuant le même type de calcul, nous

obtenons de proche en proche un système de vecteurs orthogonaux entre eux et

dont aucun n'est nul.

Dans le cas où certains vecteurs seraient tels que (leur norme est nulle), nous

remplaçons par , en choisissant un vecteur de telle sorte que nous

obtenions .

Nous en déduisons donc que tout espace vectoriel pré-euclidien admet des bases orthogonales!

Ce système de calcul des bases est de première importance, il permet par exemple d'étudier

des systèmes physiques à partir d'un référentiel pré-euclidien dont les propriétés changent

dans le temps. Ce qui est par exemple typique de la relativité générale.

CHANGEMENTS DE BASES

Soient deux bases et d'un espace vectoriel . Chaque vecteur

d'une base peut être décomposé sur l'autre base sous la forme suivante (nous l'avons déjà

démontré):

et (14.116)

Un vecteur de peut être décomposé sur chaque base sous la forme:

(14.117)

et nous avons aussi déjà démontré que:

et (14.118)

Nous remarquons que les relations de transformation des composantes contravariantes sont le

contraire des vecteurs de base, les grandeurs A et A' s'échangeant, d'où l'origine de

l'appellation "contra"-"variantes" de ces composantes!

Soient et les composantes contravariantes du vecteur respectivement sur les

bases et . Remplaçons les vecteurs de base, exprimés par les relations:

et (14.119)

dans l'expression de définition des composantes covariantes, il vient:

(14.120)

d'où la relation entre les composantes covariantes dans chaque base:

(14.121)

Nous obtenons de même:

(14.122)

Nous remarquons que les composantes covariantes se transforment comme les vecteurs de

bases, d'où l'appellation de ces composantes.

BASES RÉCIPROQUES

Revenons maintenant sur le concept d'espace dual mais tel qu'il est vu dan le cadre du calcul

vectoriel. Cette deuxième approche peut peut-être aider certains à mieux comprendre le

concept.

Soit une base quelconque d'un espace vectoriel euclidien . Par

définition, n vecteurs qui vérifient les relations suivantes:

(14.123)

sont appelés les "vecteurs réciproques" des vecteurs . Ils seront notés avec des indices

supérieurs. Par définition, chaque vecteur réciproque se doit donc d'être orthogonal à tous

les vecteurs , sauf pour .

Montrons que les vecteurs réciproques d'une base donnée sont linéairement

indépendants. Pour cela, il faut montrer qu'une combinaison linéaire donne un vecteur

nul, si et seulement si chaque coefficient est nul.

Soit un vecteur quelconque de . Multiplions scalairement par la combinaison

linéaire précédente , on obtient:

(14.124)

Cette dernière égalité devant être vérifiée quels que soient les , il est nécessaire que

chaque soit nul et ainsi les vecteurs sont donc linéairement indépendants (fallait déjà

avoir l'idée de procéder ainsi n'est-ce pas?).

Le système de n vecteurs réciproques forme donc une base appelée la "base réciproque" (qui

n'est d'autre que la base duale) de l'espace vectoriel .

Exemple:

Soit trois vecteurs formant une base (non nécessairement orthonormée) d'un espace

vectoriel euclidien. Nous décidons de noter :

(14.125)

où, rappelons-le, le symbole représente le produit vectoriel (au cas où il y aurait un petit

oubli...). Les vecteurs suivants:

(14.126)

vérifient la relation et constituent le système réciproque des vecteurs . En

cristallographie, ces vecteurs constituent ce que nous appelons "l'espace de Fourier associé".

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