Notes sur les opérations ensemblistes, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les opérations ensemblistes, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les opérations ensemblistes. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les inclusions, l'intersection, réunion/union, la différence, la différence symétrique, le produit, la complémentari...
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Opérations ensemblistes.

Nous pouvons construire à partir d'au moins trois ensembles A,B,C, l'ensemble des opérations

(dont nous devons les notations à Dedekind) existant dans la théorie des ensembles (très utiles

dans l'étude des probabilités et statistiques).

Remarque: Certaines des notations présentes ci-dessous se retrouveront fréquemment dans des

théorèmes complexes, il est donc nécessaire de bien comprendre de quoi il en retourne.

Ainsi, nous pouvons construire les opérations ensemblistes suivantes :

2.1. INCLUSIONS

Dans le cas le plus simple, nous définissons "l'inclusion" par :

(5.53)

En langage non spécialisé voici qu'il faut lire : A est "inclus" (ou "fait partie", ou encore est un

"sous-ensemble") dans B alors pour tout xappartenant à A chacun des ces x appartient aussi à B.

(5.54)

De ceci il en découle les propriétés suivantes:

P1. Si et alors cela implique = et réciproquement

P2. Si et alors cela implique

2.2. INTERSECTION

Dans le cas le plus simple, nous avons :

(5.55)

En langage non spécialisé voici qu'il faut lire : "L'intersection" des ensembles A et B consiste en

l'ensemble des éléments qui se trouvent à la fois dans A et dans B.

(5.56)

Plus généralement, si est une famille d'ensembles indexés par , l'intersection

des est notée :

(5.57)

Cette intersection est donc définie explicitement par :

(5.58)

C'est-à-dire que l'intersection de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x qui se

trouvent dans chaque ensemble de tous les ensembles de la famille.

Soit deux ensembles A et B, nous disons qu'ils sont "disjoints" si et seulement si:

(5.59)

Par ailleurs, si :

(5.60)

Les mathématiciens notent cela :

(5.61)

et l'appellent "union disjointe"

Définition: Une collection d'ensembles non vides forment une "partition" d'un

ensemble A si les propriétés suivantes sont vérifiées :

P1. et

P2.

Exemples:

E1. L'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres impairs forment une partition de .

E2. La loi d'intersection est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi")

telle que:

(5.62)

2.3. RÉUNION/UNION

Dans le cas le plus simple, nous avons :

(5.63)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire: La "réunion" ou "union" des

ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent dans A et en plus dans B.

(5.64)

Plus généralement, si est une famille d'ensembles indexés par , l'union des

est notée . Cette réunion est définie par:

(5.65)

C'est-à-dire que la réunion de la famille d'ensembles indexés comprend tous les x pour lesquels il

existe un ensemble indexé par i tel que x soit inclus dans cet ensemble .

Nous avons les propriétés de distributivité suivantes:

(5.66)

(5.67)

La loi de réunion est une loi commutative (voir plus loin la définition du concept de "loi") telle

que:

(5.68)

Nous appelons par ailleurs "lois d'idempotences" les relations (précisons cela pour la culture

générale):

(5.69)

et "lois d'absorptions" les lois:

(5.70)

Les lois de réunion et d'intersection sont associatives telles que:

(5.71)

et distributives telles que:

(5.72)

2.4. DIFFÉRENCE

Dans le cas le plus simple, nous avons :

(5.73)

En langage non spécialisé voici ce qu'il faut lire : La "différence" des ensembles A et B consiste en

l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A (et qui excluent donc les éléments

de B).

(5.74)

Si nous nous rappelons du concept de "cardinal" (voir plus haut), nous avons avec les opérations

précédemment définies, la relation suivante:

(5.75)

d'où si :

(5.76)

2.5. DIFFÉRENCE SYMÉTRIQUE

Soit E un ensemble. Pour tout nous définissons la différence

symétrique entre A et B par :

(5.77)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire: La "différence symétrique" des

ensembles A et B consiste en l'ensemble des éléments qui se trouvent uniquement dans A et de

ceux se trouvant uniquement dans B (nous laissons donc de côté les éléments qui sont communs).

(5.78)

Les propriétés triviales sont les suivantes :

P1.

P2.

P3.

2.6. PRODUIT

Dans le cas le plus simple, nous avons :

(5.79)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire: "l'ensemble produit" (à ne pas confondre avec la

multiplication ou le produit vectoriel) de deux ensembles A et B est l'ensemble des couples tels

que:

(5.80)

L'ensemble produit des réels par exemple forme le plan où chaque élément est défini par

une abscisse et son ordonnée.

2.8. COMPLÉMENTARITÉ

Dans le cas le plus simple, nous avons :

(5.81)

En langage non spécialisé voici que qu'il faut lire : Le "complémentaire" est défini comme en

prenant B un ensemble et A un sous-ensemble de B alors le complémentaire de A dans B est

l'ensemble des éléments qui sont dans B mais pas dans A.

Par exemple, dans la figure ci-dessous nous avons le complémentaire de A par rapport à U qui est

indiqué en gris (s'il est seul il s'agit donc de l'univers seul qui l'entoure).

(5.82)

Une autre notation très importante de la complémentarité qu'on retrouve parfois dans la littérature

est la suivante:

ou (5.83)

ou dans le cas particulier à droit si dessus, nous pourrions aussi écrire B/A (la notation serait

rarement utilisée car elle peut prêter à confusion dans certaines situations).

Nous avons comme propriétés pour tout inclus dans B :

(5.84)

(5.85)

Voici quelques lois triviales relatives aux compléments:

(5.86)

Il existe d'autres lois très importantes en logique booléenne. Si nous considérons trois

ensembles A, B, C comme représentés ci-dessous:

(5.87)

nous avons donc:

(5.88)

et les fameuses "lois de De Morgan" sous forme ensembliste (cf. chapitre de Systèmes Logiques

Formels) et qui sont données par les relations :

(5.89)

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