Notes sur les paramétrisations - 2° partie, Notes de Mathématiques Appliquées
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les paramétrisations - 2° partie, Notes de Mathématiques Appliquées

PDF (195 KB)
5 pages
277Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les paramétrisations - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation d'un ellïpsoïde, l'équation d'un cylindre, les surfaces de révolution.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 5
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document

(24.104)

appartient à la sphère S de centre et de rayon r si et seulement si c'est à

dire :

(24.105)

D'où l'équation cartésienne de la sphère dans le repère :

(24.106)

Il existe une autre manière de décrire la sphère en utilisation l'équation paramétrée. Effectivement,

nous avons vu dans le chapitre de Calcul Vectoriel que le passage des coordonnées cartésiennes

aux coordonnées sphériques sont données par les coordonnées curvilignes :

(24.107)

Ainsi, nous avons bien :

(24.108)

Nous retrouvons donc bien l'équation cartésienne d'une sphère à une constante de translation

près.

ÉQUATION D'UN ELLÏPSOÏDE

Nous avons lors de notre étude des coniques que l'équation d'une ellipse dans le plan était donnée

par :

(24.109)

avec a, b étant les deux axes de l'ellipse (le petit et le grand).

Ainsi, sans démonstration rigoureuse, nous pouvons vérifier à la main ou à l'aide des ordinateurs

que l'équation cartésienne :

(24.110)

est un ellipsoïde :

(24.111)

Cependant, il existe une autre manière de décrire l'ellipsoïde en utilisant les coordonnées

curvilignes :

(24.112)

Nous avons donc :

(24.113)

d'où :

(24.114)

Finalement :

(24.115)

ÉQUATION D'UN CYLINDRE

Il va sans dire que l'équation d'un cylindre de rayon r est donnée par l'équation paramétrique :

(24.116)

Nous voyons bien que les composantes x, y satisfont l'équation cartésienne d'un cercle puisque :

(24.117)

Au même titre l'équation paramétrique d'un cylindre à base elliptique est donnée par :

(24.118)

qui vérifie aussi l'équation paramétrique d'une ellipse dans le plan :

(24.119)

SURFACES DE RÉVOLUTION

De manière plus générale de nombreuses surfaces (dont certaines que nous avons vues

précédemment) peuvent être décrites par révolution d'une forme primaire de dimension inférieure

et ensuite par rotation.

Définition: Une "surface de révolution" est une surface obtenue en faisant tourner une courbe

plane (par exemple autour de l'axe Oz. Ainsi, nous passons alors d'un plan de a un

repère de , l'axe Oxengendre dès lors un plan devenu yOz.

Prenons deux exemples classiques (parmi l'infini) :

E1. Soit la parabole d'équation :

(24.120)

(rappelons que ) qui tourne autour de l'axe Oz. Nous avons bien évidemment (en coupant

le paraboloïde par un plan ce qui donne un cercle de rayon r) la relation:

(24.121)

(dite "équation cylindrique") . Or, nous avons aussi:

(24.122)

d'où l'équation du paraboloïde de révolution :

(24.123)

E2. La droite tourne autour de Oz. Donc:

(24.124)

ce qui nous donne :

(24.125)

Définition: Toute surface engendrée par une droite est une "surface réglée".

Prenons l'exemple important (cheminée de centrales nucléaire, engrenages, etc.) qu'est

l'hyperboloïde à une nappe d'équation :

(24.126)

Pour simplifier l'exemple prenons . Nous avons donc :

(24.127)

ce qui s'écrit aussi comme le produit de l'équation de deux droites tel que :

(24.128)

Ainsi, ses deux droites (de pente opposées) appartiennent à la nappe et tout point appartenant à

une de ses deux droites y est contenu. Les figures ci-dessous montrent bien qu'au fait, tout point

appartient à ses deux droites.

(24.129)

On pourrait ceci dit très bien décrire par des cercles tel que :

(24.130)

où .

(24.131)

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
3 shown on 5 pages
Télécharger le document