Notes sur les phaseurs, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les phaseurs, Notes de Physique

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Notes de physique sur les phaseurs. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la représentation de Fresnel, deux choses pour des ondes libres.
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PHASEURS

Il existe plusieurs façons d'exprimer les fonctions d'ondes que nous avons vues précédemment. Les

physiciens (ainsi que les électrotechniciens) utilisent une formulation, appelée "phaseur" ou

"représentation de Fresnel", permettant d'économiser avantageusement le poids des écritures et

ainsi de simplifier considérablement l'étude des problèmes complexes (ou simples). Les phaseurs

font usage des propriétés des nombres complexes pour exprimer les fonctions d'onde

trigonométriques sous une forme simplifiée dans tous les phénomènes ou apparaissent des

oscillations.

Ce que nous appelons "phaseur", est une fonction f dont la valeur est complexe et qui, dans un

espace à 1 dimension, s'écrit:

(31.158)

Dans toutes les applications en physique, t est la variable du temps.

Comme cette fonction est complexe, elle a une partie réelle que nous appelons ici g et une partie

imaginaire que nous appelons h. Leur identification est facile puisque comme nous l'avons déjà

démontré lors de notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) :

(31.159)

Ainsi, les parties réelles et imaginaires sont simplement:

(31.160)

Le module de f se calcule aisément en calculant:

(31.161)

Les parties réelles et imaginaires varient lorsque la position ou le temps varient. Le module ne

change donc pas, il est toujours égal à 1. Le changement se manifeste simplement par la simple

variation d'angle que fait le vecteur représentant f dans son plan complexe. C'est là une raison

suffisante pour parler de phaseur, puisque la variation de f peut être visualisée comme un simple

changement d'angle ou de phase.

Si nous sommes dans un espace physique à plus d'une dimension, disons 3, alors l'expression

pourf devient:

(31.162)

La situation est un peu plus difficile à visualiser (...). Elle est la même qu'en une dimension, mais là

tout se passe le long d'une direction définie dans l'espace 3D par le vecteur . Plus précisément,

nous aurons:

(31.163)

La variation dans le temps reste la même qu'en une dimension spatiale mais un déplacement dans

l'espace est un peu plus compliqué qu'en une dimension. Ici tout déplacement spatial dans une

direction qui n'est pas orthonormale à fera que le produit scalaire changera de telle sorte que

l'argument f variera. Ici ce n'est pas seulement la grandeur ou la norme du vecteur qui donne le

taux de variation de f sous un déplacement spatial mais aussi l'angle que fait ce déplacement par

rapport à la direction de puisque nous avons un argument qui varie comme et donc qui

dépend de cet angle noté ici . En effet, nous avons:

(31.164)

La quantité est souvent appelée le "vecteur d'onde". Physiquement il est relié le plus souvent à

l'équivalent du moment (linéaire) de l'onde pour laquelle il est évident que la définition usuelle de la

quantité de mouvement ( ) n'a plus de sens.

Une partie importante des systèmes étudiés en physique ne peuvent êtres caractérisés par un point

et donc décrits par une trajectoire. Une vague, une onde, une bande élastique qui oscillent n'ont pas

une unique position définie, ce sont des "milieux continus" sur un certain intervalle. La question que

nous nous posons dans notre tentative de les décrire est plutôt la suivante: comment décrire le

déplacement de ce milieu dans l'espace et dans le temps. Par exemple, pour une vague, si nous

figeons le temps, comment l'amplitude A, de cette vague varie-t-elle d'un endroit à l'autre de

l'espace? Nous pouvons aussi figer l'espace en regardant un seul endroit et demander comment

l'amplitude varie avec le temps?

Les coordonnées et le temps jouent maintenant un rôle similaire de paramètres indépendants. Nous

mesurons l'amplitude du phénomène en tout temps et en tout lieu. Nous chercherons donc à obtenir

une expression du type:

ou (31.165)

en une ou trois dimensions.

Le point important est que nous cherchons à exprimer A, dont le nom correct est un "champ",

comme une fonction des coordonnées du temps. Par exemple, si la vague est très régulière peut-

être est-elle décrite adéquatement par si je regarde à un seul endroit et

par lors d'une fixation imaginaire du temps ?

La quantité va caractériser la fréquence de la variation du même phénomène.

Le nom de "fréquence angulaire" est facile à comprendre puisque la fonction cosinus ou sinus fait un

cycle si son argument change de sur une de temps d'un période .

Rappelons que :

(31.166)

Dans la description des systèmes harmoniques, la notation phaseur peut être très utile comme nous

l'avons déjà dit. L'équation la plus souvent rencontrée est l'équation d'onde (que nous avons

démontré au début de ce chapitre). En une dimension, elle s'écrit :

(31.167)

Nous vérifions par simple substitution que la solution est du type:

ou (31.168)

ou une combinaison linéaire dont la forme la plus générale est:

(31.169)

Une manière rapide et efficace d'écrire toutes ces relations de façon condensée et utilement imagée,

est d'écrire:

(31.170)

Dans les trois cas, la substitution permet de le vérifier. Prenons, par exemple, la solution sinus.

Alors:

(31.171)

Le remplacement dans l'équation donne:

(31.172)

qui sera satisfait si et seulement si:

(31.173)

La substitution du phaseur comme solution de l'équation d'onde transforme cette dernière équation

différentielle à une simple équation algébrique appelée "relation de dispersion".

Elle est évidemment caractéristique de l'équation qui la génère. Celle qui apparaît ci-dessus est

particulièrement simple et caractérise une onde libre dans un milieu non-dispersif, tel que décrit par

l'équation d'onde que nous avons écrite.

La solution phaseur:

(31.174)

satisfait donc aussi l'équation, avec la même relation de dispersion. Elle est donc aussi la description

d'une onde ? La réponse est oui, et même deux fois plutôt qu'une, comme nous allons le voir ci-

dessous.

Une onde physique n'est évidemment pas complexe. La solution phaseur est complexe et a donc une

partie réelle et une partie imaginaire. Nous montrons ici que chacune des deux parties peut

représenter une onde réelle générale. Utilisons même un point de départ un peu plus général.

Imaginons que l'amplitude est elle-même complexe. Nous pouvons donc l'écrire:

(31.175)

Nous avons donc:

(31.176)

Nous étudions d'abord la partie réelle de cette expression:

(31.177)

Cette partie réelle est donc de la forme la plus générale (et réelle) de la solution monochromatique

pour l'équation d'onde, soit:

(31.178)

Clairement, il suffit d'identifier:

(31.179)

qui relient deux paramètres à deux autres. La partie réelle du phaseur est donc suffisante pour

décrire entièrement l'onde monochromatique.

Nous pouvons refaire exactement la même chose avec la partie imaginaire du phaseur et démontrer

de façon identique qu'elle est suffisante pour décrire entièrement l'onde monochromatique.

Conclusion: il est donc possible d'utiliser le phaseur pour faire toutes les manipulations

mathématiques demandées après le problème physique et à la fin, ne garder que la partie réelle ou

imaginaire, selon ce qui a été convenu dès le début.

Comme nous l'avons déjà dit, la forme réelle la plus générale de la solution est:

(31.180)

Cette fonction a le comportement d'un sinus (ou d'un cosinus) dont l'amplitude est donnée par:

(31.181)

De plus les conditions initiales ajustent de telle sorte qu'à et (initialement), le

champ a la valeur donc. Ces deux conditions fixent ces deux paramètres. Nous aurions

pu utiliser la forme toute aussi générale:

(31.182)

Ici l'amplitude connu est et les conditions initiales sont telles qu'à et , le champ a la

valeur:

(31.183)

Encore une fois, deux conditions fixent deux paramètres.

L'amplitude est une chose évidente, la phase un peu moins. Pour qu'une fonction du type:

(31.184)

ait n'importe quelle valeur que l'on veut lorsque son arg (argument) est, disons nul, il suffit d'ajuster

la valeur de la phase . C'est comme faire glisser la fonction sinusoïdale le long de l'axe, de façon à

satisfaire des conditions initiales physiques imposées par le système étudié.

De deux fonctions de type sinus ou cosinus qui ne commencent par au même point de leur cycle,

nous disons qu'elles sont "déphasées". Ceci devient vital lorsqu'il y a plus d'une onde en présence.

Imaginons le cas le plus simple de deux ondes de même amplitude:

(31.185)

Ici l'argument est une variable et les phases des paramètres constants. Nous considérons le résultat

physique de l'onde résultant de l'addition de ces deux ondes.

Si l'onde résultante sera une onde sinusoïdale d'amplitude 2 fois .

Cependant, si , l'onde résultante sera identiquement nulle partout. La différence

est donc considérable et nous trouvons toutes les situations intermédiaires. Il est donc important de

garder en tête la phase à l'origine de l'onde ou mieux, sa phase relative par rapport à d'autres ondes

de notre système physique.

Dans le phaseur, soit la partie réelle, soit la partie imaginaire, est suffisante pour donner une

description générale de l'onde (toujours monochromatique jusqu'à maintenant). Elles sont

respectivement composées d'un cosinus et d'un sinus et donc déphasées de l'une par rapport

à l'autre !

Il est souhaitable de revenir la "relation de dispersion" que nous avions obtenue. Nous avons vu que,

pour l'onde monochromatique libre, celle qui est solution de l'équation homogène, cette relation

s'écrit pour que la phase de la solution corresponde à cette réalité (attention il s'agit de ne pas

confondre le symbole de la vitesse et de la fréquence!):

(31.186)

Toujours dans le cas libre, nous pouvons avoir une situation physique qui correspond à l'addition de

plusieurs ondes monochromatiques libres. Le résultat n'est pas monochromatique et s'écrit

évidemment comme une somme:

(31.187)

Nous lui donnons souvent le nom de "paquet d'onde" pour des raisons évidentes. Puisque tout est

libre, chaque composante satisfera:

(31.188)

Nous noterons ici deux choses pour des ondes libres:

- D'abord, même pour des ondes libres, elle est quadratique, nous pouvons donc changer le signe

du vecteur d'onde et/ou de la pulsation sans affecter l'équation. Nous observons trivialement que

pour une ou plusieurs composantes du vecteur d'onde positives l'onde se propage vers

les x croissants pour ces composantes positives et qu'inversement, pour une ou plusieurs

composantes négatives l'onde se propage vers les x décroissants. De même, pour une pulsation

négative ou positive signifie que le temps varie vers le passé, respectivement le futur.

- D'autre part, certains types d'ondes n'obéissent pas à une équation aussi simple que l'équation

homogène. C'est le cas des vagues, par exemple, tant du fait de la nature du liquide dans lequel

elles se propagent que de la force de rappel gravitationnel. Parfois aussi, une onde qui serait

totalement libre, ou à peu près, cherche à se propager dans un milieu où les conditions de

propagation sont sérieusement affectées. Par exemple une onde sonore qui tente de se propager

dans le mastic ou une onde électromagnétique qui cherche à se propager dans un conducteur (un

métal). Dans ce cas, une partie importante de la différence entre onde libre et onde modifiée par le

milieu peut se décrire par un changement de la dispersion.

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