Notes sur  les phénomènes radioactifs - 2° partie, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les phénomènes radioactifs - 2° partie, Notes de Physique

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Notes de physique sur les phénomènes radioactifs - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: le changement de variables, le développement.
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en sachant qu'il s'agit suite à nos approximations à une borne inférieure indicative.

Si nous modélisons la barrière de potentiel du noyau par un profil non rectangulaire tel que

présenté ci-dessous:

(44.99)

où nous remplaçons le profil réel de la courbe par une série de barrières d'épaisseur et où

le potentiel est égal à au point .

La probabilité de passer une barrière sera donc proportionnelle à:

(44.100)

et nous savons (cf. chapitre de Probabilités) que la probabilité de passer une des barrières est

un événement indépendant (mutuellement exclusifs). Nous pouvons donc multiplier les

probabilités tel que:

(44.101)

et en passant à la limite il vient:

(44.102)

et si x est assimilé à un rayon d'une configuration à symétrie sphérique:

(44.103)

Dans le cas d'un noyau , la barrière de potentiel va de où elle commence jusqu'à valeur

où la barrière est considérée comme négligeable.

Or, l'énergie potentielle du noyau en tout point distant r du a l'extérieur du bord du noyau

de l'atome radioactif sera égal, comme nous l'avons vu un peu plus haut à:

(44.104)

Nous avons donc pour :

(44.105)

Pour déterminer du noyau émis, il faut savoir que son énergie totale est supposée

conservée dans ce modèle simplifié. Elle est donc la même avant son passage dans la barrière

de potentiel nucléaire lorsque , pendant, et après .

De plus, dans ce modèle, l'énergie cinétique aussi est supposée constante lorsque .

Autrement dit, puisque le noyau préexiste dans le noyau de l'atome radioactif il a déjà la

vitesse finale qu'il aura lors du point de franchissement de la barrière du potentiel nucléaire...

Donc sous toutes ces hypothèses très simplificatrices... si nous savons déterminer l'énergie

totale du noyau en (par exemple), à la sortie de la barrière, nous avons son énergie totale

lors de l'ensemble du phénomène de traversée de la barrière.

Réciproquement, son énergie totale nécessaire pour sortir en de la barrière de potentiel par

effet tunnel en partant du noyau (et partir ensuite loin à l'infini et gagner en énergie cinétique

et perdre toute son énergie potentielle coulombienne) est la même par hypothèse que l'énergie

totale obtenue en calculant le travail de la force qui d'une distance infinie du noyau de l'atome

radioactif ramènerait le noyau à la vitesse précitée au point de sortie minimal (rayon

minimal de sortie pris comme constant car très éloigné en ordres de grandeur par rapport au

noyau de l'atome radioactif).

Ce qui correspond alors à la différence d'énergie potentielle entre un point à l'infini et . Et

comme l'énergie potentielle est nulle à l'infini pour un système répulsif, il ne reste plus que le

terme:

(44.106)

Et finalement:

(44.107)

valable toujours que pour (c'est comme si pendant la traversée de la barrière, le

noyau restituait de l'énergie cinétique au vide au fur et à mesure de son approche du

point , ceci dit, en mécanique quantique on ne peut pas utiliser l'interprétation de la

mécanique classique).

Or, très souvent dans les laboratoires, est exprimé comme une constante suffisamment loin

du noyau de l'atome radioactif. Il est alors relativement naturel (même si c'est du bricolage) de

prendre r comme variable d'intégration tel que:

(44.10

8)

et il est de tradition de prendre ensuite :

(44.109)

ce qui nous amène à:

(44.110)

Faisons maintenant le changement de variables (la dérivation du est détaillée dans le

chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(44.111)

d'où:

(44.112)

et en notant:

(44.113)

L'intégrale:

(44.114)

devient:

(

44.115)

Concernant les bornes nous avons pour rappel:

(44.116)

Donc si r vaut nous écrivons la borne comme étant et si r vaut alors:

(44.117)

Il vient alors:

(44.118)

Nous avons vu dans le chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral:

(44.119)

Donc:

(44.120)

Alors:

(44.121)

Ce qui fait:

(44.122)

Or, nous avons aussi (cf. chapitre de Trigonométrie):

(44.123)

Donc:

(44.124)

Rappelons à nouveau que:

(44.125)

Or, donc .

Si nous développons en série de MacLaurin (cf. chapitre de Suites et Séries) jusqu'au troisième

ordre:

(44.126)

Alors:

(44.127)

Nous avons alors:

(44.128)

Si on prend le développement de MacLaurin au premier ordre:

(44.129)

Donc:

(44.13

0)

Donc tout cela pour écrire finalement:

(44.13

1)

Soit explicitement:

(44.132)

Relation à laquelle nous pouvons remettre le coefficient de l'exponentielle que nous avions

déterminé dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire.

Typiquement pour le noyau d'Uranium , nous prenons les valeurs dans les tables des

constantes physiques et universelles qui sont dans la relation précédente pour obtenir une

certaine valeur de T (je m'abstiendrai de montrer le calcul car les tables ne sont pas toutes

d'accord entre elles...).

Ensuite, dans l'approximation semi-classique, le noyau a, dans le puits, une vitesse de

l'ordre de:

(44.133)

et il effectue des allers-retours dans un noyau dont le rayon est de l'ordre de .

Ces allers-retours correspondant donc à un certain nombre d'oscillations par seconde.

Effectivement, si nous notons la durée moyenne entre deux chocs successifs, nous avons

alors:

(44.134)

Donc la fréquence vaut:

(44.135)

A chaque fois elle a une probabilité T de franchir la barrière de potentiel. Cette probabilité par

unité de temps est ainsi détermine par :

(44.136)

et donne la constante de désintégration de l'isotope par émission avec une relativement

grosse erreur si on fait le calcul avec les valeurs numériques mais l'ordre de grandeur est par

contre exact ce qui pas mal du tout! Le modèle (scolaire) présenté donne donc des résultats

satisfaisants.

Ce qui est impressionnant dans ce résultat c'est que puisque T est très très sensible

à , les ordres de grandeurs de varient énormément pour de petites variations de

l'énergie. Et le modèle reste aussi satisfaisant sur environ 30 ordres de grandeurs!!!

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