Docsity
Docsity

Prépare tes examens
Prépare tes examens

Étudies grâce aux nombreuses ressources disponibles sur Docsity


Obtiens des points à télécharger
Obtiens des points à télécharger

Gagnz des points en aidant d'autres étudiants ou achete-les avec un plan Premium


Guides et conseils
Guides et conseils

Notes sur les plans d'expérience - 1° partie, Notes de Aérotechnique et programmation informatique

Notes d'ingénierie sur les plans d'expérience - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le comportement des produits industriels, Les plans d'expériences, Les trois grandes familles de plans d'expériences, Les Deux compléments, Les plans factoriels complets.

Typologie: Notes

2013/2014

Téléchargé le 13/01/2014

Christophe
Christophe 🇫🇷

4.2

(99)

488 documents

Aperçu partiel du texte

Télécharge Notes sur les plans d'expérience - 1° partie et plus Notes au format PDF de Aérotechnique et programmation informatique sur Docsity uniquement! Le comportement des produits industriels est généralement fonction de nombreux phénomènes, souvent dépendants les uns des autres. Pour prévoir ce comportement, le produit et les phénomènes sont modélisés, et des simulations sont effectuées. La pertinence des résultats des simulations dépend évidemment de la qualité des modèles. En particulier, dans le cadre de la conception ou reconception d'un produit, les modèles font généralement intervenir un certain nombre de grandeurs physiques (paramètres) que l'on s'autorise à modifier. Le comportement des produits industriels est généralement fonction de nombreux phénomènes, souvent dépendants les uns des autres. Pour prévoir ce comportement, le produit et les phénomènes sont modélisés, et des simulations sont effectuées. Or, ces essais sont coûteux, et ce d'autant plus que le nombre de paramètres à faire varier est important. En effet, la modification d'un paramètre peut par exemple exiger un démontage et un remontage du produit, ou bien la fabrication de plusieurs prototypes différents (cas d'une pièce produite en série), ou encore l'interruption de la production pour changer d'outil (cas d'un process de fabrication)... Le coût d'une étude expérimentale dépend donc du nombre et de l'ordre des essais effectués. L'idée consiste alors à sélectionner et ordonner les essais afin d'identifier, à moindres coûts, les effets des paramètres sur la réponse du produit. Il s'agit de méthodes statistiques faisant appel à des notions mathématiques simples le plus souvent. La mise en oeuvre de ces méthodes comporte trois étapes : 1. Postuler un modèle de comportement du système (avec des coefficients pouvant être inconnus) 2. Définir un protocole d'expérience, c'est-à-dire une série d'essais permettant d'identifier les coefficients du modèle 3. Faire les essais, identifier les coefficients et conclure. Les plans d'expériences ("Design of Experiment" (D.O.E.) en anglais abrégés PEX en français) permettent d'organiser au mieux les essais qui accompagnent une recherche scientifique ou des études industrielles. Ils sont applicables à de nombreuses disciplines et à toutes les industries à partir du moment où l'on recherche le lien qui existe entre une grandeur d'intérêt, y (quantité de rebus, défauts, détections, amplitude, etc.), et des variables dans un but d'optimisation. Raison pour laquelle il existe des logiciels pour les traiter comme MiniTab ou principalement JMP pour ne citer que les plus connus. Indiquons également que les plans d'expérience sont un des pilier de la chimiométrie (outils mathématiques, en particulier statistiques, pour obtenir le maximum d'informations à partir des données chimiques). Il existe trois grandes familles de plans d'expériences: 1. Les "plans de criblages": dont l'objectif est de découvrir les facteurs les plus influents sur une réponse donnée en un minimum d'expériences. C'est la plus simples des familles car proche de l'intuition expérimentale (elle est parfois considérée comme une sous-famille de la deuxième famille). 2. Les "plans de modélisation": dont l'objectif est de trouver la relation mathématique qui lie les réponses mesurées aux variables associés aux facteurs soit via une démarche mathématique analytique ou purement matricielle. Les plans factoriels complets et fractionnaires (2 niveaux par facteurs avec modèles linéaires) ainsi que les plans pour surfaces de réponse (au moins 3 niveaux par facteurs avec modèles du second degré) font partie de cette famille. 3. Les "plans de mélange": dont l'objectif est le même que la deuxième famille mais où les facteurs ne sont pas indépendants et sont contraints (par exemple leur somme/ ou leur rapport doit être égale à une certaine constante). Le principe global se base sur le fait que l'étude d'un phénomène peut, le plus souvent, être schématisé de la manière suivante : nous nous intéressons à une grandeur, y qui dépend d'un grand nombre de variables, (et leur ordre n'a pas d'influence... ce qui est par contre problématique en chimie...). La modélisation mathématique consiste à trouver une fonction f telle que: (239) qui prenne en compte l'influence de chaque facteur seul ou des facteurs combinés (interactions). Cette fonction est donc déterministe (la réponse dépend uniquement des facteurs sans aucune incertitude possible, ce qui revient à ignorer les bruits tels que les erreurs de mesure) et invariant (le comportement n'évolue pas au cours du temps). Une méthode classique d'étude consiste en la mesure de la réponse y pour plusieurs valeurs de la variable tout en laissant fixe la valeur des (n-1) autres variables. Nous itérons alors cette méthode pour chacune des variables. Ainsi, par exemple, si nous avons 8 variables et si l'on décide de donner 2 valeurs expérimentales à chacune d'elles, nous sommes conduits à effectuer expériences. Ce nombre élevé dépasse les limites de faisabilité tant en temps qu'en coût. Il faut donc réduire le nombre d'expériences à effectuer sans pour autant perdre sur la qualité des résultats recherchés. L'utilisation d'un plan d'expérience donne alors une stratégie dans le choix des méthodes d'expérimentation. Le succès des plans d'expériences dans la recherche et l'industrie est lié au besoin de compétitivité des entreprises : ils permettent une amélioration de la qualité et une réduction des coûts. Remarque: La méthode des plans d'expériences a été mise au point au début du siècle, dans les années 1920, par Ronald A. Fisher (celui du Test de Fisher). Elle a pris un essor considérable avec le développement de l'informatique et la puissance de calcul qui l'accompagne. (247) Les niveaux représentent les coordonnées d'un point expérimental et y est la valeur de la réponse en ce point. On définit un axe orthogonal à l'espace expérimental et on l'attribue à la réponse. La représentation géométrique du plan d'expériences et de la réponse nécessite un espace ayant une dimension de plus que l'espace expérimental. Un plan à deux facteurs utilise un espace à trois dimensions pour être représenté : une dimension pour la réponse, deux dimensions pour les facteurs. A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse. A l'ensemble de tous les points du domaine d'étude correspond un ensemble de réponses qui se localisent sur une surface appelée la "surface de réponse" (raison pour laquelle ce domaien d'études est parfois appelé: "plans d'expérience pour l'estimation de surfaces de réponse") par exemple avec des facteurs: (248) Le nombre et de l'emplacement des points d'expériences est le problème fondamental des plans d'expériences. On cherche à obtenir la meilleure précision possible sur la surface de réponse tout en limitant le nombre d'expériences! L'ingénieur va souvent rechercher une fonction mathématique qui relie la réponse aux facteurs. Pour cela, nous simplifions le problème en se rappelant (cf. chapitre de Suites et Séries) que toute fonction quelque soit sont nombre de variables peut être approchée en une somme de série de puissance en un point donné Nous prenons alors un développement limité de la série de Taylor: (249) Soit autour de (ce que nous pouvons nous permettre car nous prenons toujours des unités centrées réduites comme vues plus haut!), nous avons la série de MacLaurin au deuxième ordre et en changeant de notation pour : (250) où y est donc la réponse et les les facteurs et les sont les coefficients du modèle mathématique adopté a priori. Ils ne sont pas connus et doivent être calculés à partir des résultats des expériences. L'intérêt de modéliser la réponse par un polynôme est de pouvoir calculer ensuite toutes les réponses du domaine d'étude sans être obligé de faire les expériences en passant par un modèle appelé "modèle postulé" ou "modèle a priori". Deux compléments doivent être apportés au modèle précédemment décrit: 1. Le premier complément est le "manque d'ajustement". Cette expression traduit le fait que le modèle a priori est fort probablement différent (ne serait-ce que par l'approximation de l'approche) du modèle réel qui régit le phénomène étudié. Il y a un écart entre ces deux modèles. Cet écart est le manque d'ajustement ("lack of fit" en anglais). 2. Le second complément est la prise en compte de la nature aléatoire de la réponse (sans que cette dernière soit toutefois stochastique sinon il faut utiliser d'autres outils!). En effet, si l'on mesure plusieurs fois une réponse en un même point expérimental, on n'obtient pas exactement le même résultat. Les résultats sont dispersés. Les dispersions ainsi constatées sont appelées "erreurs expérimentales". Ces deux écarts, manque d'ajustement et erreur expérimentale, sont souvent réunis dans un seul écart, notée e. Le modèle utilisé par l'expérimentateur s'écrit alors au deuxième ordre et au premier degré (toujours dans le cas particulier de deux facteurs!): (251) Remarques: R1. Si nous prenons en compte les termes du deuxième degré, nous parlons alors de "modèle quadratique complet". R2. Si nous arrêtons le développement au premier ordre et au premier degré (sans interactions), nous parlons alors de "modèle affine". Dans la pratique nous notons cette dernière relation (nous enlevons le terme d'erreur): (252) où nous avons la notation abusive: (253) Ce modèle sans erreur est souvent appelé "modèle contrôlé avec interactions" (linéaire d'ordre 2). Évidemment, plus le degré du polynôme utilisé est élevé plus nous avons, théoriquement, de chances d'avoir un modèle proche de la réalité. Mais les polynômes de degré élevé réclament beaucoup de points expérimentaux et leur validité peut vite diverger en dehors du domaine expérimental. Si l'étude l'exige, nous préférons utiliser des fonctions mathématiques particulières pour mieux ajuster le modèle aux résultats expérimentaux. Cependant, en pratique, les interactions d'ordre élevé ont souvent une influence très faible sur la réponse (bon cette affirmation dépend fortement du domaine d'activité...!). Il est donc possible de ne pas les inclure dans le modèle, ce qui conduit à faire moins d'essais. Ce principe est utilisé dans la construction de nombreux plans d'expériences, comme nous le verrons dans la partie suivante. Dans de nombreuses applications, on obtient des résultats tout à fait satisfaisants en se limitant aux interactions doubles.
Docsity logo


Copyright © 2024 Ladybird Srl - Via Leonardo da Vinci 16, 10126, Torino, Italy - VAT 10816460017 - All rights reserved