Notes sur les plans d'expérience - 2 ° partie, Notes de Ingénierie unifiée avancée
Christophe
Christophe13 January 2014

Notes sur les plans d'expérience - 2 ° partie, Notes de Ingénierie unifiée avancée

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Notes d'ingénierie sur les plans d'expérience - 2 ° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les plans factoriels fractionnaires.
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4 +1 +1

Tableau: 14 - Matrice d'expérimentation simplifiée

pour un plan d'expérience de 2 facteurs à 2 niveaux avec interactions en modèle linéaire (sans erreur) ou

encore plus extrême ("notation de Yates")... en termes d'écriture:

Essai n° Facteur 1 Facteur 2 Réponse

1 - -

2 + -

3 - +

4 + +

Tableau: 15 - Matrice d'expérimentation avec notation de Yates

On voit que dans cette forme d'écriture qu'outre le fait que les deux colonnes Facteur 1 et Facteur 2 sont

orthogonales, elles sont aussi "balancées", dans le sens qu'il y a autant de + et de - dans chacune des

colonnes.

Lorsque le nombre de facteurs est grand, il n'est pas toujours facile pour tout le monde de poser

rapidement les facteurs +, -. Alors il existe une petite marche à suivre appelée "algorithme de Yates" qui

permet vite d'arriver au résultat voulu:

D'abord nous commençons toutes les colonnes par -1 et nous alternons les -1 et les +1 toutes

les lignes pour laj-ème colonne.

Remarques:

R1. Si le type de tableau précédent contient des valeurs codées, nous parlons de "plan

d'expérience" sinon avec les unités physiques habituelles nous parlons de "tableau

d'expérimentation".

R2. Dans le cas des tableaux codés, il est d'usage d'indiquer sous le tableau un deuxième tableau

avec les correspondances entre les unités codées et les unités physiques.

Insistons sur une chose importante: C'est que si nous avions 3 facteurs à 2 niveaux, alors nous

avons possibilités d'expériences (soit 8). Or, huit correspond exactement au nombre de coefficients

que nous avons également dans le modèle linéaire avec interactions d'une réponse à trois variables:

(261)

ce qui correspond aussi aux termes seulement linéaires et sous forme condensée du développement en

série de MacLaurin d'une fonction f de trois variables.

Et ainsi de suite.... pour n facteurs à deux niveaux. C'est la raison pour laquelle les plans factoriels

complets linéaires sont traditionnellement les plus utilisés car ils sont mathématiquement intuitifs et

simples à démontrer.

Par ailleurs, il est important de remarquer que tous ces plans linéaires complets approximés au deuxième

ordre sont sous forme matricielles des matrices carrées orthogonales et donc bien évidemment

inversibles (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire)!

Cependant les matrices précédentes ne satisfont pas la relation suivante vue dans le chapitre d'Algèbre

Linéaire:

(262)

mais ont pour particularité pour tout plan d'expérience complet de satisfaire la relation:

(263)

Donc contrairement aux matrices orthogonales qui par définition ont toutes les colonnes (ou lignes) qui

forment une base orthonormée (norme unitaire), les matrices des plans d'expérience ont pour différence

de ne pas avoir les normes de la base orthogonale à l'unité.

Ainsi, nous définissons la matrices A dont les coefficients sont tous des +1 ou des -1 ET satisfaisant la

relation précédente comme étant une "matrice de Hadamard". Ces dernières ont par ailleurs pour propriété

d'exister que pour les ordres 1, 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ...

Démonstration:

Sachant que les cas d'ordre 1 et 2 sont triviaux et que le cas impair est à éliminer immédiatement

(impossibilité d'orthogonalité), faisons la démonstration pour . Puisque toutes les colonnes doivent

être obligatoirement orthogonales (pour que la matrice soit inversible et donc le système résoluble), nous

pouvons toujours écrire le problème sous la forme (forme particulière pour n valant 4 mais facilement

généralisable):

(264)

et si nous notons m comme étant l'ordre de la matrice. Alors nous avons par sommation de toutes les

lignes:

(265)

donc n doit être divisible par 4 pour pour que toutes les colonnes soient orthogonales et donc que

la matrice soit de Hadamard sachant que x, y, z, w ont pour valeur 1.

Remarque: Nous pouvons donc avoir des matrices par exemple d'ordre 4, avec des coefficients

+1 ou -1 mais qui ne sont pas des matrices de Hadamard (car les colonnes ne seraient pas

orthogonales).

C.Q.F.D.

Il s'ensuit alors trivialement la relation suivante:

(266)

Pour clore cette partie, résumons un constat simple:

Plan Facteurs Interactions Somme

2 1 3

3 4 7

4 11 15

5 26 31

6 57 63

7 120 127

... ... ... ...

Tableau: 16 - Types de plans avec facteurs & interactions

PLANS FACTORIELS FRACTIONNAIRES

En pratique, les plans complets ne sont utilisables que sur des systèmes avec très peu de facteurs, ou

lorsque chaque essai prend très peu de temps. Lorsque n est plus grand ou égal 3 alors les coûts des

expériences peut très vite devenir onéreux.

Dans le cas de 3 facteurs à 2 niveaux nous avons l'équation et le tableau d'expérience suivant:

Essai n° Facteur 1 Facteur 2 Facteur 3 Réponse

1 - - -

2 + - -

3 - + -

4 + + -

5 - - +

6 + - +

7 - + +

8 + + +

Tableau: 17 - Plan d'expérience à 3 facteurs complet sous forme de Yates

Soit sous forme de tableau d'expérience complet:

Essai n° Repos F 1 F 2 F 3 F 12 F 13 F 23 F 123 Réponse

1 + - - - + + + -

2 + + - - - - + +

3 + - + - - + - +

4 + + + - + - - -

5 + - - + + - - +

6 + + - + - + - -

7 + - + + - - + -

8 + + + + + + + +

Tableau: 18 - Plan d'expérience à 3 facteurs et interactions complet sous forme de Yates

ou de matrice d'expérience complète:

(267)

où à nouveau il est facile de contrôler que toutes les colonnes sont orthogonales et balancées (même

nombre de + ou de - dans chaque colonne ou autrement dit la somme de leurs colonnes est nulle) et que

la matrice est bien de type Hadamard.

Les plans réduits (plans factoriels fractionnaires), consistant à sélectionner certaines combinaisons, ont

donc été proposés. Ils permettent naturellement de réduire les coûts mais diminuent également

l'information disponible sur le comportement du système! Il faut donc s'assurer de la pertinence de la

sélection par rapport au modèle à identifier.

Pour réduire les coûts d'expérimentation nous allons jouer avec les maths. D'abord reprenons le problème

actuel sous forme explicite:

(268)

Pouvons-nous en réduire l'écriture afin de minimiser le nombre d'expériences à faire? La réponse est Oui

mais en contre partie nous allons perdre la mesure des effets purs (nous parlons alors parfois de

"confusion").

L'écriture inférieure la plus proche est une matrice de Hadamard d'ordre 4. Ce qui signifie bien

évidemment que nous ne devons conserver 4 lignes sur les 8 et que celles-ci doivent rester orthogonales,

balancées et satisfaire la relation:

(269)

L'idée, appelée "méthode de Box et Hunter", est alors dans un premier temps de rassembler les facteurs

d'influence (en indices) tel que (développements similaires pour tout n):

(270)

Ecrivons cela de la manière suivante:

(271)

Changeons de notation:

(272)

Tout naturellement, si nous considérons cette nouvelle notation comme des variables propres, ce système

unique se sépare maintenant en deux sous-systèmes (appelés respectivement "contrastes" dans le

domaine) pour être résoluble:

et (273)

e qui permet de diviser le nombre d'essais par deux par rapport à un plan complet. En résolvant un de ces

deux systèmes, nous disons que les interactions sont "aliasées" avec les effets purs en négatif ou en

positif.

Il est ensuite de tradition de garder que le système aliasé positivement:

(274)

car si les interactions sont nulles, nous retrouvons à l'identique la matrice d'expérience d'un plan factoriel

complet ! Cependant, nous obtenons au mieux que des relations entre les coefficients et l'identification

rigoureuse de leur valeur individuelle sera impossible. Ainsi, il n'est pas possible de réduire indéfiniment

le coût d'une étude expérimentale sans en dégrader la robustesse.

Remarque: Il est même intéressant d'observer que le troisième facteur est confondu (peut être

assimilé) avec l'interaction 12 des facteurs 1 et 2 dans le plan factoriel .

Ensuite, c'est à l'expérimentateur de bien connaître son analyse et de savoir si:

1. Parmi les facteurs aliasés s'il y a des interactions ou non!

2. Dans le facteur aliasé l'influence forte sur la réponse vient de l'interaction ou de l'effet pur seul!

Une fois les coefficients déterminés, sous l'hypothèse que chacun des facteurs ou interactions est

indépendant (hypothèse limite acceptable...) certains ingénieurs font une analyse de la variance de la

droite de régression obtenue au final ou déterminent le coefficient de corrélation afin de déterminer si

l'approximation linéaire du modèle est acceptable dans le domaine d'étude et d'application.

Enfin signalons qu'il semblerait que les ingénieurs désignent (à vérifier car je ne suis pas un spécialiste):

- les plans factoriels où aucune interaction est prise en compte dans le modèle à priori linéaire sous le

nom de "plans Plackett et Burmann" (mais ces plans peuvent cacher des alias si l'expérience est mal

connue).

- les plans factoriels avec interactions dans le modèle à priori linéaire construits à l'aide de graphes

linéaires (cf. chapite de Théorie des Graphes) sous le nom de "plans de Taguchi" (au fait il s'agit

simplement de plans factoriels complets ou fractionnaires construits avec l'aide de graphes).

- les plans foctoriels partiels dont le nombre d'essai est toujours divisé par deux avec interactions aliasés

sous le nom de "plans de Box et Hunter".

- les plans factoriels avec interactions dans le modèle à priori non linéaire de degré n sous le nom de

"plans de Koshal".

Un aspect mérite encore d'être précisé: c'est la vérification de la validité du modèle mathématique du

premier degré. Or aucun de ces plans ne prévoit un tel test de validité utilisant des statistiques élaborées.

C'est pourquoi il est préconisé de toujours ajouter au moins un point expérimental au contre du domaine

expérimental. La valeur de la réponse en ce point sera comparée à la valeur déduite des autres points

expérimentaux grâce au modèle mathématique. Si les deux valeurs sont semblables, le modèle

mathématique sera adopté, si elles ne le sont pas nous devrons rejeter ce modèle et compléter les

résultats déjà obtenus par des expériences permettant de passer au second degré.

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