Notes sur les polinomes de degré - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les polinomes de degré - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur les polinomes de degré - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les polynômes de degré 2, le Nombre d'Or, les polynômes de degré 3.
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POLYNÔMES DE DEGRÉ 1.

Soit:

(8.77)

Si alors le polynôme admet une unique racine simple:

(8.78)

tel que .

Remarques:

R1. Il faut toujours prendre l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans l'équation d'origine

pour s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution. Effectivement, il existe des

solutions aux développements de résolution d'une équation qui ne vérifient pas l'équation d'origine

et c'est ce que nous nommons des "solutions étrangères" ou encore "racines étrangères".

R2. Si les coefficients du polynôme de degré 1 sont tous réels alors la racine est réelle.

R3. Si un des coefficients est complexe alors la racine est nécessairement complexe.

R4. Si les deux coefficients sont complexes, alors la racine est soit complexe soit réelle.

R5. Nous disons que deux équations sont équivalentes si elles admettent le même ensemble de

solutions.

Voici quelques propriétés que nous considérons comme triviales et que nous admettrons donc

sans démonstrations:

P1. Si nous ajoute (ou si nous retranchon) un même nombre à chaque membre d'une équation,

nous obtenons une équation qui a les mêmes solutions que l'équation dont nous sommes partis

(et ce quelque soit son degré!).

P2. Si nous multiplions (ou si nous divisons) chaque membre d'une équation par un même nombre

non nul, nous obtenons une équation qui a les mêmes solutions que l'équation dont nous sommes

partis (et ce quelque soit son degré!).

POLYNÔMES DE DEGRÉ 2

Soit le polynôme à coefficients réels (trinôme du second degré):

(8.79)

Si nous représentons ce polynôme graphiquement sur la plan réel, cela donne:

(8.80)

Si nous dérivons cette fonction (cf. chapitre de Calcul Différentiel et Intégral) et cherchons en quel

point la tangente s'annulle, nous avons toujours:

(8.81)

Si alors nous avons:

(8.82)

Nous avons alors une "racine double" (ou "racine de multiplicité 2") que nous notons:

(8.83)

tel que et où nous définissons un nouveau terme appelé "déterminant du polynôme" ou

"discriminant" qui allège souvent les écritures:

(8.84)

Remarque: Il faut aussi toujours prendre l'habitude de vérifier l'existence de la solution dans

l'équation d'origine pour s'assurer de la validation du domaine de définition de la solution au cas où

la solution serait "étrangère".

Si le polynôme du deuxième degré en x comporte deux racines, nous pouvons alors factoriser de

manière irréductible (selon le théorème fondamental de factorisation des polynômes vu plus haut)

de la manière suivante:

(8.85)

Nous démontrons, à partir de l'expression des racines, sans trop de peine les relations dites

"relations de Viète":

et (8.86)

Avec le signe de a et celui du discriminant nous avons:

(8.87)

Donc:

- Si le polynôme n'admet pas de zéros réels et ne se décompose pas en un produit de

facteurs réels du premier degré mais de facteurs complexes. Ainsi (il est nécessaire d'avoir lu la

partie traitant des nombres complexes dans le chapitre des Nombres de la section d'Arithmétique

du site):

(8.88)

et nous savons que nous pouvons écrire tout nombre complexe sous une forme condensée

(formule d'Euler) et comme les racines complexes d'un polynôme du second degré sont

conjuguées (nous connaissons ce terme) nous avons:

(8.89)

où (rappel) r est le module des racines complexes (module égal pour les deux racines)

et l'argument des racines complexes (égales en valeur absolue).

- Si alors le polynôme possède une seule solution qui est bien évidemment:

(8.90)

- Si alors le polynôme possède deux solutions définies par les relations générales que nous

avons déjà données précédemment.

En ce qui concerne le cas complexe, prenons comme exmple le polynôme suivant du second

degré:

(8.91)

qui admet donc uniquement deux racines complexes qui sont i et -i. Dans le plan réel ce

polynôme sera représenté avec Maple par:

>plot(x^2+1,x=-5..5);

(8.92)

où nous voyons bien qu'il n'y a aucune solution (zéros) réelle. Alors qu'en nous plaçant dans les

complexes, nous avons:

>plot3d(abs(-(re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=-2..2,view=[-2..2,-2..2,-2..2],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(8.93)

où les deux zéros sont bien visibles sur l'axe imaginaire en -1 et +1. Evidemment quand c'est la

première fois que l'on voit une fonction représentée sur une figure en prenant en compte les

valeurs complexes on essaie d'y retrouver la parabole correspondante au cas purement réel. Pour

cela, il suffit de couper la surface ci-dessus en deux sur l'axe imaginaire et nous avons alors:

>plot3d(abs((re+I*im)^2+1),re=-2..2,im=0..2,view=[-2..2,-2..2,0..2],orientation=[-

130,70],contours=50,style=PATCHCONTOUR,axes=frame,grid=[100,100],numpoints=10000);

(8.94)

où nous retrouvons notre parabole bien visible sur la coupe de la surface. Ainsi, nous pouvons

nous demander si les valeurs complexes ne sont pas une extension naturelle de notre espace

conventionnel échappant à notre sens physique commun et nos appareils de mesures.

Evidemment de ce qui a été vu jusqu'à maintenant nous en tirons que si un polynôme admet une

ou plusieurs racines alors ce même polynôme est divisible par .

Nombre d'Or

Il existe un polynôme de degré deux dont la solution est fameuse de par le monde. Ce nombre est

appelé la "divine proportion" ou "nombre d'or" et se retrouve en architecture, esthétique ou encore

en phyllotaxie (c'est-à-dire dans la disposition des feuilles autour de la tige des plantes).

Ce nombre vaut:

(8.95)

et appartient à l'ensemble des nombres irrationnels car il ne peut pas s'écrire sous forme de

fraction entière, mais c'est un nombre algébrique puisqu'il est la solution positive de l'équation:

(8.96)

POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 Bien que rare à résoudre en physique théorique ou lors de ses études, la résolution d'un polynôme

du 3ème degré est assez récréative et montre un bon exemple d'un raisonnement mathématique

déjà mature (nous devons ces développements à Scipione del Ferro et Jérome Cardan

mathématiciens du 16ème siècle...).

Soit l'équation:

(8.97)

avec les coefficients tous dans (pour commencer...). Dans un premier temps, le lecteur pourra

voir que les raisonnements que nous avons appliqués pour les polynômes de degrés inférieurs

coincent rapidement (excepté pour des cas particuliers simplistes bien sûr...).

Nous allons contourner le problème par des changements de variables subtils mais tout à fait

justifiés.

Ainsi, rien ne nous empêche de poser que:

(8.98)

et que en divisant le polynôme de degré 3 par a d'écrire:

(8.99)

En regroupant les termes de même ordre:

(8.100)

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