Notes sur les polyèdres réguliers - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les polyèdres réguliers - 1° partie, Notes de Mathématiques Appliqués

PDF (342.7 KB)
11 pages
216Numéro de visites
Description
Notes de mathématique surles polyèdres réguliers - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définitions, Démonstration, Remarque, le tétraèdre régulier, l'hexaèdre régulier (cube), l'octaèdre régulier,...
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 11
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

Polyèdres réguliers.

Définitions:

D1. Un "polyèdre régulier" est constitué de faces toutes identiques et régulières.

D2. Un "polyèdre convexe" est tel que chaque point d'un segment de droite qui joint deux points

quelconques appartient au polyèdre.

Les polyèdres réguliers sont au nombre de neuf, dont cinq sont convexes et étaient connus de

Platon. Nous appelons parfois polyèdres réguliers uniquement les solides de Platon et ce sont

ceux-ci qui vont nous intéresser ici.

Démontrons d'abord n'existe que cinq polyèdres réguliers convexes qui sont donc appelés les "les

cinq solides platoniciens" (les autres colonnes du tableau ci-dessous seront démontrées et

expliquées un peu plus loin) :

Nom (m,n) Image SAFF - A + S

Tétraèdre (3,3)

4 6 4 2

Hexaèdre ou cube (4,3)

8 12 6 2

Octaèdre (3,4)

6 12 8 2

Dodécaèdre (5,3)

20 30 12 2

Icosaèdre (3,5)

12 30 20 2

Tableau: 2161 - Cinq polyèdres réguliers

Démonstration:

Soient m le nombre de côtés de chaque face d'un polyèdre régulier, nle nombre des arêtes qui se

rencontrent en chaque sommet. Nous avons alors que chaque angle d'une face quelconque est

donné par :

(26.101)

Attention c'est l'angle qui définit donc l'angle d'une face et non pas !

Ce qui découle de la figure suivante :

(26.102)

où nous avons :

(26.103)

et :

(26.104)

Mais, la somme des n angles groupés autour d'un sommet est plus petit que les n angles qui

coupent un plan en partie égales (nous supposerons cela intuitif par découpage)! Chacun d'eux est

donc inférieur à :

(26.105)

donc :

(26.106)

d'où :

(26.107)

Les nombres m et n sont tous deux au moins égaux à 3 (le plus petit polygone étant le triangle). Il

en résulte que les seuls cas possible sont :

(26.108)

C.Q.F.D.

Notons maintenant F le nombre de faces, A le nombre d'arêtes et S le nombre de sommets. Alors,

rappelons que nous avons démontré dans le chapitre de Théorie Des Graphes la "formule d'Euler"

(ou "théorème de Descartes-Euler") que :

(26.109)

et celle-ci est bien évidemment valable aussi pour l'aplatissement d'un polyèdre dans la plan (et

donc in extenso d'un polyèdre).

Remarque: La représentation sous forme d'un graphe de l'aplatissement d'un polyèdre est appelé

"diagramme de Shlegel".

(26.110)

Dans le cas des polyèdres réguliers, chaque face possède m arêtes de sorte que est

l'ensemble des arêtes des faces et comme chaque arête rencontre exactement deux faces, nous

avons l'égalité (prendre un exemple pour s'en convaincre au cas où!) :

(26.111)

et comme n est le nombre des arêtes qui se rencontrent en chaque sommet, et que chaque arête

relie deux sommets, nous avons également :

(26.112)

Soit :

(26.113)

En injectant dans la formule d'Euler, nous avons alors :

(26.114)

et nous retrouvons l'inégalité du théorème précédente. Reprenons notre calcul :

(26.115)

d'où nous tirons :

(26.116)

Nous pouvons maintenant entreprendre la classification des polyèdres réguliers.

Le tétraèdre :

(26.117)

L'octaèdre :

(26.118)

L'hexaèdre ou cube :

(26.119)

L'icosaèdre :

(26.120)

Le dodécaèdre :

(26.121)

ce qui termine notre classification.

TÉTRAÈDRE RÉGULIER

Nous avons montré que pour le tétraèdre et il est relativement aisé de deviner qu'un

tel polyèdre est formé de 3 triangles équilatéraux identiques comme le montre la figure ci-

dessous :

(26.122)

Pour cela, commençons par étudier le triangle équilatéral suivant :

(26.123)

Dans ce triangle équilatéral, a est la côté, h la hauteur. Les médiatrices sont h, h', h'' des côtés

respectifs BC, AB,AC.

h et h' se coupent en un point P (barycentre). Par construction du triangle équilatéral, nous

avons (il suffit d'appliquer Pythagore pour le démontrer).

Nous avons par ailleurs démontré lors de notre étude du triangle, que le barycentre de celui-ci se

situe toujours à 2/3 de la hauteur de la médiane. Comme médiane et médiatrices sont confondues

dans le cas du triangle équilatéral, nous avons alors .

Maintenant, nous tirons une droite passant par le point P et perpendiculaire au plan dans lequel se

trouve le triangle. Soit D un point sur cette droite, comme nous aurons

bien sûr (il suffit d'appliquer Pythagore à nouveau!).

Il ne nous reste donc plus qu'à nous arranger pour que et nous aurons le tétraèdre

régulier que nous voulions. Nous calculons alors :

(26.124)

et donc :

(26.125)

donc :

(26.126)

(26.127)

La médiatrice de BC passant par M coupe H en un point O, qui n'est rien d'autre que le centre de la

sphère circonscrite au tétraèdre. En effet, par construction, nous avons et la

médiatrice nous donne .

Thalès nous donne également :

(26.128)

et pour les développements qui suivront nous poserons .

Calculons maintenant la surface totale. Elle sera nécessairement donnée par la surface d'une seule

face multipliée par le nombre de faces, et comme nous avons démontré comment calcul la surface

d'un triangle plus haut il vient immédiatement :

(26.129)

Pour le volume c'est tout aussi simple puisque nous avons démontré plus haut quel était celui

d'une pyramide. Il vient alors immédiatement :

(26.130) HEXAÈDRE RÉGULIER (CUBE)

Le cube est le polyèdre régulier qui nous est le plus familier, il compte 6 faces et sa construction

ne nécessite probablement pas d'être présentée.

(26.131)

Puisque tous les côtés sont de longueur a, la surface est simplement donné par la multiplication

de la surface des 6 faces. Ainsi :

(26.132)

et le volume :

(26.133) OCTAÈDRE RÉGULIER

Nous avons montré que pour l'octaèdre et il est relativement aisé de deviner que

l'octaèdre régulier est formé (par définition) de 6 triangles équilatéraux identiques.

Pour construire, et montrer qu'il est possible de construire, un tel polyèdre nous posons comme

précédemment que son côté vaut a.

(26.134)

Ensuite, nous notons O le point d'intersection des deux diagonales. Nous avons alors :

(26.135)

et :

(26.136)

Sur la droite perpendiculaire au plan qui contient notre carré, et passant par O, nous ajoutons

deux sommets E, Fà une distance que nous calculons comme suit :

(26.137)

d'où nous tirons :

(26.138)

Donc :

(26.139)

Notre polyèdre est bien composé de huit triangles équilatéraux tous identiques. Chaque sommet

compte quatre arêtes et quatre faces, ce qui nous permet d'affirmer qu'il est bien régulier et

termine ainsi notre construction.

La surface de l'octaèdre régulier est :

(26.140)

avec h étant la hauteur du triangle équilatéral de côté a que nous avons déjà calculé plus haut.

Pour le volume, c'est encore basé sur celui de la pyramide. Ainsi :

(26.141)

Et nous supposerons qu'il est évident pour le lecteur que notre octaèdre est inscrit dans une

sphère de rayon Rdont le centre est le point O. Pour R, nous avons :

(26.142)

Montrons déjà maintenant que nous pouvons construire l'icosaèdre régulier à partir de l'octaèdre

et que ce premier existe est bien constructible.

Pour cela, nous allons d'abord considérer un repérage vectoriel des points suivants de l'octaèdre

avec l'origine Oplacée au barycentre:

(26.143)

Nous avons alors :

(26.144)

Une fois ceci posé, considérons la figure suivante :

(26.145)

Sur la figure ci-dessus, A' est un point qui part de A et qui arrive en B, et soit B' un point qui part

de C et qui arrive en B, et pour finir E' un point qui part de B et arrive en E. Ces trois points partent

en même temps et avancent à la même vitesse. Si nous suivons ces trois points, qui forment un

triangle A'B'E', nous sentons bien intuitivement qu'il existe un lieu tel que A'B'E' soit un triangle

équilatéral.

Déterminons ce lieu :

(26.146)

et donc :

(26.147)

et nous voulons :

(26.148)

Alors :

(26.149)

Soit :

(26.150)

Ce qui se simplifie en :

(26.151)

et comme , nous obtenons pour la résolution de ce polynôme du deuxième degré (cf.

chapitre de Calcul Algébrique) la seule solution acceptable :

(26.152)

le lecteur remarquera peut-être qu'il s'agit de l'inverse du nombre d'or.

Selon la figure ci-dessous, si nous posons alors nous retrouvons à nouveau la

même valeur pour (soit le lecteur le vérifiera lui-même, soit nous sur demande nous pouvons

faire le détail des calculs) et idem pour tous les autres points :

(26.153)

Notre nouveau polyèdre comporte donc une face par face de l'octaèdre et une face par arête de

l'octaèdre. Nous avons ainsi vingt faces composées de triangles équilatéraux identiques. De plus,

cinq arêtes et cinq faces se rencontrent en chaque sommet. Nous obtenons alors un icosaèdre

régulier.

Nous avons pour les coordonnées de chaque sommet (il faut bien observer que les sommets sont

opposés par paire en une composante sur la figure) :

(26.154) ICOSAÈDRE RÉGULIER

Nous avons vu précédemment comment construire l'icosaèdre régulier. Il existe donc bien.

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome