Notes sur les polynomes de degré - 2° partie, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les polynomes de degré - 2° partie, Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur les polynomes de degré - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les polynômes de degré 4, les méthodes générales.
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et posons (rien, mais alors absolument rien ne nous l'interdit):

(8.101)

où (1) est connu si et seulement si X est connu et où p, q sont de tout façon connus.

Le polynôme:

(8.102)

étant de degré impair, il admet comme permet de le constater tout tracé visuel d'un tel polynôme

à coefficient réels aux moins une racine réelle, appelée "racine certaine" (vérifiez vous verrez bien

par une représentation graphique d'un polynôme de degré impair que cela est trivial).

Maintenant, nous faisons un autre changement de variable (nous en avons tout à fait le droit)

subtil:

(8.103)

en imposant la condition que u,v doivent êtres tels que (rien ne nous empêche

d'imposer une telle contrainte) et nous avons alors:

(8.104)

Dès lors nous avons:

(8.105)

Nous pouvons très bien faire une analogie entre les deux relations (1') et (2') et les relations de

Viète que nous avions obtenues pour le polynôme de degré 2 qui rappelons-le étaient:

et (8.106)

à la différence que nous avons maintenant (nous adoptons une autre notation pour ces racines

intermédiaires):

et (8.107)

ce qui nous donne pour le polynôme P en imposant (toujours par analogie) une nouvelle

équation:

(8.108)

dont sont les racines.

Cette dernière équation à pour discriminant:

(8.109)

Prenons maintenant le cas par cas:

- Si , l'équation en Z admet deux solutions dont la somme va nous donner

indirectement la valeur de X puisque par définition et et . Nous voyons

que nous avons tous les ingrédients pour trouver la première racine de l'équation initiale qui sera

la racine certaine (ou "zéro certain"). Ainsi:

(8.110)

comme et que les racines supérieures sont cubiques nous avons nécessairement si

tous les coefficients de l'équation originale sont bien dans .

- Si , nous le savons, l'équation en Z admet une racine double et puisque le discriminant

comporte une puissance carrée de q cela signifie nécessairement que p est négatif.

Le polynôme P admet donc lui aussi une racine double et de même pour l'équation d'origine. Nous

avons vu par ailleurs que pour un polynôme du second degré si le discriminant est nul les racines

sont:

(8.111)

alors par analogie:

(8.112)

- Si nous devons à nouveau utiliser les nombres complexes comme nous l'avons fait lors

de notre étude du polynôme de degré 3. Ainsi, nous savons que l'équation en Z admet deux

solutions complexes telles que:

(8.113)

et à nouveau comme les racines sont conjuguées nous pouvons écrire sous la forme condensée:

(8.114)

et comme:

(8.115)

nous avons donc:

(8.116)

Comme sont conjugués, nous avons nécessairement .

POLYNÔMES DE DEGRÉ 4

L'équation polynômiale à résoudre ici est:

(8.117)

avec .

Remarque: Nous devons cette méthode de résolution à l'italien Lodovico Ferrari mathématicien

italien du 16ème siècle également.

Quitte à diviser par a nous avons:

(8.118)

Puis, en posant:

(8.119)

l'équation se réduit:

(8.120)

où nous voyons que le coefficient devant s'annule. Ainsi, tout polynôme du type:

(8.121)

peut être écrit sous la forme suivante:

(8.122)

En posant:

(8.123)

Remarque: Si , l'équation à résoudre est en réalité une "équation bicarrée". Le changement de

variable permet alors de se ramener à une équation polynomiale du deuxième degré (ce que

nous savons facilement résoudre).

Nous introduisons maintenant un paramètre t (que nous choisirons judicieusement par la suite) et

nous réécrivons l'équation polynomiale sous la forme suivante:

(8.124)

Remarque: Si le lecteur développe et distribue tous les termes de la relation précédente il retombera

bien évidemment sur .

L'idée sous-jacente est d'essayer de faire en sorte que la partie entre crochets de l'expression

précédente puisse s'écrire comme un carré tel que:

(8.125)

Car dans ce cas, en utilisant:

(8.126)

Notre équation polynomiale peut alors s'écrire:

(8.127)

et nous n'aurions plus qu'à résoudre deux équations polynomiales du deuxième degré (ce que

nous savons déjà faire).

Or, pour que nous puissions écrire:

(8.128)

Il faudrait que l'expression du deuxième degré à gauche de l'égalité n'ait qu'une seule racine. Or,

nous avons vu dans notre étude des équations polynomiales du deuxième degré que cela signifiait

dès lors que le déterminant est nul:

(8.129)

et que la racine s'exprimait par:

(8.130)

Ce qui correspond dans notre cas:

(8.131)

et donc que:

(8.132)

avec:

(8.133)

Donc finalement, si t est tel que , alors nous avons:

(8.134)

puisque le théorème fondamental des polynômes nous donne pour un polynôme du deuxième

degré n'ayant qu'une seule racine:

(8.135)

Pour conclure, il suffit de voir que trouver un nombre t vérifiant la relation:

(8.136)

est un problème de degré 3 que nous savons déjà résoudre par la méthode de Cardan.

De telles méthodes générales n'existent plus pour les degrés égaux ou supérieurs à 5 comme

nous le verrons à l'aide de la théorie de Galois (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

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