Notes sur les polynômes de Legendre, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les polynômes de Legendre, Notes de Mathématiques Appliqués

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Notes de mathématique sur les polynômes de Legendre. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Définition, Démonstration, La relation.
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Polynômes de Legendre.

Définition: les polynômes de Legendre sont définis par (lire de préférence les chapitres de calcul

différentiel et intégral ainsi que d'analyse fonctionnelle avant):

(8.149)

où est donc un polynôme de degré n. Nous retrouverons ces polynômes dans la résolution

d'équations différentielles en physique (propagation de la chaleur, physique quantique, chimie

quantique, etc.).

Démontrons que selon la définition du produit scalaire fonctionnel (cf. chapitre d'Analyse

Fonctionnelle et de Calcul Vectoriel) que les polynômes de Legendre sont orthogonaux.

Démonstration:

Soit P un polynôme de degré . Il suffit de montrer que , c'est-à-dire que est

orthogonal à l'espace des polynômes de degré inférieur à n. Nous avons en effet:

(8.150)

en intégrant par parties nous obtenons:

(8.151)

Attention pour le terme nul ci-dessus, seulement le terme y est dérivé. Donc

puisque x est au carré, quelque soit la dérivée la valeur sera toujours la même. Ce qui justifie que

le terme soit nul.

En continuant de la sorte nous obtenons après n intégrations par parties:

(8.152)

C.Q.F.D.

Remarque: Le terme dérivé est nul puisque le polynôme dérivé est de degré n-1

Voici quelques propriétés utiles en chimie quantique des:

P1.

Démonstration:

(8.153)

et par la formule de Leibniz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) nous avons:

(8.154)

d'où:

(8.155)

C.Q.F.D.

P2. si n est pair:

Démonstration:

Si n est pair, est une fonction paire et donc:

(8.156)

est paire.

C.Q.F.D.

P3. si n est impair.

Démonstration:

Si n est impair, est impaire et donc:

(8.157)

est impaire.

C.Q.F.D.

Nous allons à présent démontrer la validité de la relation de récurrence suivante pour

les (relations que nous utiliserons en physique):

(8.158)

pour .

Démonstration:

est un polynôme de degré , il existe dès lors des tel que ce polynôme peut

s'exprimer comme combinaisons linéaire de la famille de polynômes constituant la base

orthonormale (base qui permet donc d'engendrer ):

(8.159)

nous pouvons dès lors écrire:

(8.160)

mais nous choisissons (parce que est dès lors de degré ):

(8.161)

Donc c'est-à-dire que nous devons avoir . Par suite:

(8.162)

Par les propriétés des polynômes de Legendre vues précédemment, nous pouvons écrire les

égalités:

: (8.163)

et:

: (8.164)

d'où:

et (8.165)

Le coefficient dominant de est défini (rappelons-le) par le coefficient du monôme du plus

grand degré. Ainsi, il est donné par:

(8.166)

Donc:

(8.167)

Remarque: Le lecteur vérifiera au besoin pour un n donné que:

(8.168)

La relation:

(8.169)

que nous avons obtenu ci-dessus nous impose que le coefficient dominant du polynôme de la

combinaison linéaire soit égal au coefficient dominant du polynôme (nous avons éliminé

le qui se simplifie):

(8.170)

après simplification, nous obtenons:

(8.171)

et ce qui donne finalement facilement:

(8.172)

La relation:

(8.173)

devient dès lors:

(8.174)

C.Q.F.D.

Voici les six premiers polynômes de Legendre:

(8.175)

(8.176)

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