Notes sur les polynomes et fractions rationnelles 2, Notes de Mathématiques

Télécharge Notes sur les polynomes et fractions rationnelles 2 et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! UNIVERSITE MOHAMED I Faculté Des Sciences Année Universitaire 2003/04 Département De Mathématiques 1/2 Module: Math1 algèbre Et Informatique, OUJDA Feuille 1 d’exercices d’algèbre Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1 Le but de l’exercice, est de montrer que le polynôme P = X3 − 3X + 1 n’admet que des zéros réels. 1. Si a est zéro de P , qu’est ce qu’on peut dire de ā (complexe conjugué de a)? 2. Dans ce cas montrer que P admet au moins un zéro réel. 3. Calculer P (0),P (1) et P (2). Trouver la contradiction. Exercice 2 Soient a,p et q trois nombres complexes. Ecrire les conditions sur p et q pour que a soit zéro double du polynôme X3 + pX + q Exercice 3 Soient p et q deux entiers naturels (p > q). 1. Calculer le reste de la division euclidienne de Xp +Xq +1 par X2 +X +1. 2. A quelles conditions sur p et q, le polynôme X2+X+1 divise-t-il Xp+Xq+1 ? Exercice 4 Soit le polynôme P = X4 − 5X3 + 7X2 − 5X + 6. 1. Vérifier que i est zéro de P . Pourquoi −i est aussi zéro de P ? 2. Montrer que le polynôme Q = X2 + 1 divise P . 3. En utilisant 2) donner la décomposition de P sur R. Exercice 5 1. Quelles sont les zéros complexes des polynômes X3 + 1 et X2 +X +1. En déduire que X3 +1 et X2 +X +1 sont premiers entre eux. 2. Trouver tous les couples de polynômes à coefficients réels (A,B) tels que (X3 + 1)A + (X2 + X + 1)B = 1.