Notes sur les primitives usuelles - 3° partie, Notes de Mathématiques Appliqués
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les primitives usuelles - 3° partie, Notes de Mathématiques Appliqués

PDF (170.9 KB)
8 pages
294Numéro de visites
Description
Notes de mathématique sur les primitives usuelles - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les dernières primitives, les relations correspondantes.
20points
Points de téléchargement necessaire pour télécharger
ce document
Télécharger le document
Aperçu3 pages / 8
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Aperçu avant impression terminé
Chercher dans l'extrait du document

44. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne:

(10.345)

45. Primitive de avec :

Une intégration par parties nous donne:

(10.346)

46. Primitive de avec :

Nous avons la relation suivante:

(10.347)

Par suite:

(10.348)

Ainsi:

(10.349)

47. Primitive de avec :

Nous avons en utilisant le résultat précédent:

(10.350)

Donc:

(10.351)

48. Primitive de avec :

En faisant le changement de variable :

avec (10.352)

Nous obtenons en utilisant la dérivée de arctan(x) :

(10.353)

49. Soit :

(10.354)

avec . Nous avons:

(10.355)

Or cette dernière intégrale se résout par parties:

(10.356)

Donc:

(10.357)

Que nous retrouvons plus fréquemment dans la littérature sous la forme:

(10.358)

Identiquement au développement suivant, nous avons pour (le signe change):

(10.359)

la relation suivante:

(10.360)

Vous pourrez trouver une application de ces deux primitives dans le modèle cosmologique

newtonien de l'univers dans le chapitre d'Astrophysique ainsi que dans le chapitre de Relativité

Générale dans le cadre de l'étude de l'effet Shapiro!

50. Primitive de :

Nous avons en utilisant les primitives de (vu avant) et (vu plus haut):

(10.361)

51. Primitive de :

Nous avons en utilisant les primitives de (vu avant) et (vu plus haut):

(10.362)

52. Primitive de avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Remarquons que le domaine de définition

de f est . Dans un premier temps nous allons déterminer une primitive de f sur

l'intervalle .

Faisons le changement de variable:

(10.363)

avec donc:

(10.364)

où nous considérons la fonction avec pour réciproque la

fonction donnée par (cf. chapitre de Trigonométrie):

(10.365)

Nous obtenons alors en utilisant la primitive de :

(10.366)

or (cf. chapitre de Trigonométrie) comme :

(10.367)

Donc:

(10.368)

et en utilisant un autre résultat du chapitre de Trigonométrie:

(10.369)

nous avons alors:

(10.3

70)

étant donné que les primitives sont données à une constante près, nous pouvons écrire:

(10.371)

pour . F est donc une primitive de sur .

53. Primitive de avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer . Remarquons que le domaine de définition

de f est [-a,a].

Nous faisons la substitution:

(10.372)

avec:

(10.373)

Nous obtenons:

(10.374)

où nous avons utilisé la primitive de avec démontrée plus haut. Or nous avons:

(10.375)

Donc:

(10.37

6)

et:

(10.377)

54. Primitive de avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Faisons le changement de variable:

(10.378)

avec donc:

(10.379)

Nous obtenons:

(10.380)

en ayant utilisé la primitive de démontrée plus haut.

Ainsi:

(10.381)

Mais comme nous avons vu dans le chapitre de Trigonométrie:

(10.382)

et:

(10.383)

Donc nous avons finalement:

(10.384)

où le ln(a) a encore une fois été omis car les primitives sont données à une constante près.

55. Primitive de avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Nous faisons la substitution:

(10.385)

avec:

(10.386)

Nous obtenons:

(10.387)

56. Primitive de avec :

Nous pouvons sans perte de généralité supposer .

Faisons le changement de variable:

(10.388)

avec :

(10.389)

Nous obtenons de la même manière que pour les intégrales usuelles précédentes:

(10.390)

et sachant que (cf. chapitre de Trigonométrie):

(10.391)

Nous obtenons alors au final la primitive importante suivante:

(10.392)

où le ln(a) a encore une fois été omis car les primitives sont données à une constante près!

En procédante de même, mais en utilisant le cosinus hyperbolique au lieu du sinus hyperbolique,

nous avons bien évidemment:

(10.393)

Nous réutiliserons ces deux dernières relations dans des cas pratiques importants des chapitres

de Mécanique Analytique, Génie Civil (où la constante a valant 1, ln(a) est de toute façon nul!) et de

Relativité Générale (où asera non nul et donc il ne sera pas possible d'omettre la constante ln(a)).

commentaires (0)
Aucun commentaire n'a été pas fait
Écrire ton premier commentaire
Ceci c'est un aperçu avant impression
Chercher dans l'extrait du document
Docsity n'est pas optimisée pour le navigateur que vous utilisez. Passez à Google Chrome, Firefox, Internet Explorer ou Safari 9+! Téléchargez Google Chrome