Notes sur les principes d'incertitudes classiques, Notes de Physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les principes d'incertitudes classiques, Notes de Physique

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Notes de physique sur les principes d'incertitudes classiques. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la première relation d'incertitude classique, la deuxième relation d'incertitude classique, la troisième rel...
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PRINCIPES D'INCERTITUDES CLASSIQUES

Avant de s'attaquer directement à la physique quantique et à ses outils mathématiques (et

pseudo-démonstrations des cinq postulats), nous devons d'abord introduire un exemple

classique simple dans lequel apparait un type particulier de phénomènes : la présence

intrinsèque de l'incertitude dans toute mesure.

Cette étude sous forme classique et pas très rigoureuse, nous aidera à mieux appréhender

l'incertitude quantique (nous l'espérons) que nous étudierons et déterminerons plus tard et qui

elle n'est pas d'origine expérimentale!

Imaginons que nous souhaitions mesurer au moyen d'un microscope l'abscisse x d'une

particule et les composantes de sa quantité de mouvement p. Pour cela, un faisceau de lumière

monochromatique (pour simplifier) parallèle à éclaire la particule, il faut qu'au moins un

photon choque la particule et parvienne à l'oeil de l'observateur, pour que la mesure de x soit

possible :

(42.21)

Une fois x mesuré, nous pouvons imaginer n'importe quel procédé pour mesurer la quantité de

mouvement.

Soit l'angle que fait la direction du photon après le choc, avec . Supposons pour alléger les

calculs que la particule ait une masse assez élevée pour que nous puissions négliger le

changement d'énergie du photon. Nous voyons qu'après le choc, les composantes de la

quantité de mouvement du photon selon et sont

(42.22)

Effectivement, rappelons que les relations entre les ondes électromagnétiques, l'équivalence

masse-énergie et la quantité de mouvement (cf. chapitre de Relativité Restreinte) sont les

suivantes :

(42.23)

Il s'ensuit que la particule peut voir sa quantité de mouvement altérée. Les composantes de sa

variation sont (ne pas oublier qu'initialement elle était nulle en z):

(42.24)

entre sa quantité de mouvement initiale et finale.

La seule information que nous possédons sur l'angle , c'est que ce dernier est strictement, en

module, égal à l'angle d'ouverture u de l'objectif du microscope (restriction technique).

Donc cela implique que :

(42.25)

PREMIÈRE RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Quand nous aurons mesuré la quantité de mouvement p à la fin de l'expérience, il faudra

effectuer les corrections :

(42.26)

de la quantité de mouvement du photon pour savoir la vraie valeur dep de la particule juste

avant le début de la mesure.

Dans ces corrections, il y a une partie inconnue qui correspond à des erreurs de mesure

sur et . Il est possible d'établir avec encore quelques petites finesses... que l'erreur

maximale de et sur la quantité de mouvement initiale est donnée trivialement par la

composante x de la "première relation d'incertitude classique":

(42.27)

puisque nous avons .

Puisque nous avons la relation trigonométrique remarquable suivante (cf. chapitre de

Trigonométrie) :

(42.28)

et que , nous obtenons dès lors aussi la première relation d'incertitude

pour la composante z :

(42.29)

Rappelons maintenant que (cf. chapitre d'Optique Ondulatoire) pour une fente rectangulaire

nous avons en posant :

(42.30)

où (en optique ondulatoire) est l'angle permettant de distinguer clairement deux minimas de

diffraction (et donc clairement un objet émettant un rayonnement identique entre deux points).

Inversement, du point de vue de la diffraction, l'ouverture e est donc donnée par :

(42.31)

La valeur de e peut aussi être vue comme le champ de vision (projection orthogonale de la fente

sur l'axe X) de largeur de la particule. Dès lors :

(42.32)

Au même titre que l'erreur maximale est donnée par la condition , nous pouvons

aussi écrire , cela nous amène à écrire que :

(42.33)

DEUXIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

Si nous multiplions:

et (42.34)

nous obtenons la "deuxième relation d'incertitude classique" également appelée "l'incertitude

spatiale classique" :

(42.35)

qui représente donc l'erreur maximale expérimentale d'un microscope à faible ouverture

rectangulaire (que de conditions!).

Remarque: Le lecteur vérifiera sans peine que cette relation appliquée pour un objet

macroscopique (de l'ordre du centimètre) dont la position serait mesurable avec une précision de

l'ordre du micromètre donne une incertitude ridiculement faible sur la quantité de mouvement et

donc la vitesse. Par contre, la même relation appliquée pour la masse d'une particule telle que

l'électron avec une précision de mesure de la position supposée du dixième de nanomètre

donnera une incertitude sur la vitesse de l'ordre 1'000 [m/s]...!!

Ainsi, si nous essayons de situer une particule avec une précision de plus en plus grande, sa

quantité de mouvement atteint des valeurs extrêmes. À un certain point, la quantité de

mouvement peut être si grande que l'énergie correspondante est suffisante pour produire une

paire de particule-antiparticule. En d'autres termes, si nous essayons de confiner une particule

dans une boîte de plus en plus petite, d'une part, nous connaissons de moins en moins sa quantité

de mouvement et par le fait, nous ne savons même pas combien de particules il y a dans la boîte!

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la

physique quantique, que la vraie relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus)

apparaît tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la

définition de la quantité de mouvement.

Plus généralement, pour une particule dans un volume à dimensions (x, y, z), un état classique

est caractérisé par les 6 quantités dans l'espace de phase (espace de phases

qui est donc de dimension 6) et l'état quantique occupe le "cube" de volume:

(42.36)

Examinons le produit de :

avec (42.37)

tel que:

(42.38)

et supposons que u soit petit et intéressons nous au rapport quand u tend vers

zéro...

Nous avons dès lors:

(42.39)

ce qui nous donne finalement (en première approximation) :

(42.40)

Nous voyons qu'il est possible de jouer sur la variable u pour l'indétermination en z mais cela

devient par contre impossible lorsqu'il s'agit de l'indétermination en x.

TROISIÈME RELATION D'INCERTITUDE CLASSIQUE

En relativité restreinte, nous avons vu que x, y, z, ct constituent les composantes d'un

quadrivecteur d'espace-temps ainsi que celles d'un vecteur d'énergie-

impulsion.

Il est donc naturel de compléter les trois relations spatiales par extension :

(42.41)

Nous obtenons ainsi la "quatrième relation d'incertitude classique" appelée également

"incertitude temporelle classique" :

(42.42)

Cependant (!), nous verrons lors de l'étude des commutateurs appliqués à la théorie de la

physique quantique, que cette relation d'incertitude (dont la valeur diffère de celle ci-dessus)

apparaît aussi tout naturellement uniquement à partir de propriétés mathématiques et de la

définition de la quantité de mouvement.

Remarque: Nous reviendrons plus tard sur les implications de cette incertitude temporelle dont

les implications sont à la base de la cosmologie quantique (et de la création de notre Univers) et

de la théorie quantique des champs en particulier en ce qui concerne le potentiel de Yukawa (cf.

chapitre de Physique Quantique Des Champs).

Les incertitudes classiques établies vont nous permettre de mieux comprendre les incertitudes

sous leur forme quantique réelle. Pour cela, parmi d'autres, il va nous falloir faire usage de

l'artillerie mathématique nécessaire. Cependant, dans un souci de clarté, nous avons souhaité

présenter la physique quantique ondulatoire de la manière la plus simple et la moins formelle

possible. Cette présentation peut porter le lecteur à de nombreux contre-sens et il doit donc

rester prudent tant qu'il n'en a pas vu la démonstration rigoureuse!

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