Notes sur les propriétés géométriques - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les propriétés géométriques - 1° partie, Notes de Mathématiques. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les propriétés géométriques - 1° partie. les principaux thèmes abordés sont les suivants: les symétries planes, les rotations, les trois matrices, les propriétés des matrices de pauli.
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PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES

Nous allons étudier les transformations des vecteurs de associés à un spineur afin d'en

déduire les propriétés correspondantes de transformation du spineur. Les rotations dans

l'espace pouvant toujours s'exprimer sous forme du produit de deux symétries planes (faire

dans la tête l'expérience imaginaire), nous commençons par l'étude de ces dernières.

SYMÉTRIES PLANES

Considérons dans un premier temps la symétrie plane d'un vecteur :

Lors d'une symétrie par rapport à un plan P, un vecteur quelconque se transforme en un

vecteur . Déterminons une matrice S qui représente cette symétrie par rapport à ce plan.

Soit un vecteur unitaire normal au plan P et soit H le pied de la perpendiculaire abaissée

d'un point M de l'espace sur le plan P.

(15.28)

Soit M' le point symétrique de M par rapport à P, nous avons :

(15.29)

Soient les composantes cartésiennes de et les composantes

respectives des vecteurs , la relation précédente nous donne les relations linéaires :

(15.30)

La matrice S qui fait passer du vecteur au vecteur a donc pour expression

:

(15.31)

Gardons en mémoire ce résultat et considérons à présent deux vecteurs , orthogonaux

entre eux et unitaires, définissant comme nous l'avons vu un spineur unitaire . Une

symétrie par rapport à un plan Ptransforme les vecteurs en vecteurs auxquels

sont associés le spineur . Nous allons maintenant montrer que la transformation

suivante du spineur en spineur est :

(15.32)

et transforme précisément les vecteurs en vecteurs , ces vecteurs se déduisant

respectivement - comme nous allons le montrer - les uns des autres par une simple symétrie

plane et que la matrice représente bien la transformation cherchée.

La relation précédente nous donne donc :

(15.33)

En tout nous avons :

(15.34)

Nous en déduisons :

(15.35)

Par suite du fait que , nous obtenons :

(15.36)

Nous retombons donc bien sur la matrice de symétrie :

(15.37)

Ainsi, la matrice que nous retrouverons dans le chapitre de Physique Quantique Relativiste:

(15.38)

engendre donc la transformation d'un spineur en un spineur telle que les

vecteurs associées se déduisent respectivement de par une symétrie

plane.

ROTATIONS

Comme nous l'avons vu dans le chapitre de géométrie euclidienne, il est possible faire une

rotation d'un vecteur dans le plan ou dans l'espace à l'aide de matrices. De même, par

extension, il est évident que la multiplication de deux rotations est une rotation (c'est de

l'algèbre linéaire élémentaire - du moins nous le considérons tel quel).

Considérons dès lors, deux plans P, Q dont l'intersection engendre une droite (ligne) L et

notons et des vecteurs unitaires portés par les normales respectives à

ces deux plans sécantes en L :

(15.39)

Notons l'angle des vecteurs entre eux (la raison de cette notation provient de notre

étude des quaternions (cf. chapitre Nombres). Soit le vecteur unitaire porté par la

droite L résultant de l'intersection des plans P, Q et tel que :

(15.40)

Explications : sont unitaires mais pas nécessairement perpendiculaires et nous devons

quand même nous assurer que soit un vecteur unitaire (sa norme soit égale à l'unité donc).

Dès lors, la relation ci-dessus nous assure que :

(15.41)

Le produit vectoriel précédent nous donne pour les composantes de :

(15.42)

D'autre part, le produit scalaire s'écrit :

(15.43)

Remarque: Nous allons nous servir des ces deux plans comme plans de symétrie pour nos

rotations

Comme nous l'avons fait remarquer précédemment, une rotation dans peut toujours se faire

avec au plus deux symétries planes. Ainsi, une rotation peut se noter par l'application

(multiplication) de deux matrices de symétrie selon les résultats obtenus plus haut :

(15.44)

Développant le produit de ces deux matrices et tenant compte de relations découlant du

produit vectoriel et scalaire nous obtenons :

(15.45)

Ainsi, nous pouvons écrire la transformation d'un spineur et un spineur à l'aide

d'une matrice de la forme :

(15.46)

dont les paramètres sont appelés sont appelés "paramètres de Cayley-Klein".

La matrice peut être écrite sous une autre forme si nous faisons un développement

limité pour des rotations infiniment petites (eh voilà la physique qui revient....).

Ainsi, les développements de MacLaurin nous donnent :

(15.47)

En utilisant seuls les termes du premier ordre, la matrice de rotation s'écrit finalement :

(15.48)

Cette matrice constitue le développement limité de la matrice de rotation au voisinage de la

matrice identité, cette dernière correspondant évidemment à la rotation nulle. Nous notons

cette dernière également sous la forme :

(15.49)

où la matrice est la matrice unité d'ordre deux et s'appelle la "matrice infinitésimale

de rotation". Maintenant, si nous posons dans nous obtenons :

(15.50)

Comment interpréter ce résultat ? Eh bien c'est assez simple, choisir , nous

donne un vecteur colinéaire à l'axe de . Dès lors, nous pouvons très bien nous

imaginer les plans générant l'axe qui porte . Comme (in extenso ) est généré

par les vecteurs perpendiculaires à et donc à , alors l'angle (ou sa variation)

représente une variation de la direction des plans normaux à qui par symétrie servent à

construire la rotation (rappelons que ne sont pas nécessairement orthogonaux entre eux).

Donc par extension, avoir ne permet plus que de faire des rotations

(symétries) autour de .

De même, une rotation autour de l'axe correspond à , ce qui donne :

(15.51)

et de même avec nous avons enfin :

(15.52)

Les trois matrices :

(15.53)

sont donc les matrices de rotation dans l'espace des spineurs à deux composantes. Les

physiciens et mathématiciens disent que ces matrices constituent une représentation

irréductible de dimension deux du groupe "SU(2)" ou encore appelé "groupe spécial des

rotations spatiales SU(2)" (cf. chapitre d'Algèbre Ensembliste).

Les matrices infinitésimales précédentes font donc apparaître de manière habile les matrices

suivantes:

(15.54)

Ces matrices sont appelées "matrices de Pauli" et nous les retrouverons en physique quantique

ondulatoire (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) dans le cadre de notre étude de

l'équation de Dirac et de la détermination de ses solutions explicites (utilisant les spineurs).

En utilisant ces matrices de Pauli, la matrice de rotation infinitésimale peut finalement s'écrire :

(15.55)

Définissons un vecteur ayant pour composantes les matrices de Pauli :

(15.56)

L'expression peut alors s'écrire sous forme d'une sorte de produit scalaire

qui représente une somme de matrices (la flèche au-dessus du sigma est parfois omise si

aucune confusion n'est possible):

(15.57)

Le développement limité s'écrit alors :

(15.58)

La matrice de rotation :

(15.59)

peut à l'aide des matrices de Pauli s'écrire sous la forme remarquable :

(15.60)

forme que nous utiliserons dans le chapitre d'Informatique Quantique pour exprimer les

matrices R de manière explicite ainsi que dans le chapitre d'Algèbre Ensembliste.

Ce qui s'écrit parfois:

(15.61)

Ce qui peut s'écrire aussi :

(15.62)

qui a donc la forme d'un quaternion de rotation d'angle et d'axe . D'où la raison d'avoir

depuis le début choisi la notation de .

Il est clair, pour que l'analogie avec les quaternions soit plus forte, que les matrices de

Pauli forment un ensemble de quatre matrices linéairement indépendantes ! Tel que la base

canonique pour les quaternions !

Si nous notons alors le "produit spinoriel" est défini finalement par:

(15.63)

Cette matrice constitue comme nous en avons déjà fait mention, au développement limité de la

matrice de rotation au voisinage de la matrice identité, les composantes de étant associées

à un spineur dont la rotation se fait par la double symétrie définie par deux plans dont

l'intersection est définie par le vecteur .

Nous pouvons par ailleurs remarquer la conséquence intéressante qu'une rotation de 360° ne

restore par l'objet dans sa position initiale.

Effectivement:

(15.64)

Il faut donc une rotation de 720° pour faire un tour complet! Cela correspond au spin de ½. Il

faut faire deux tours pour retrouver pour que l'objet réapparaisse de manière équivalente. Nous

disons alors que la représentation des rotations est "bivaluée".

PROPRIÉTÉS DES MATRICES DE PAULI

Le lecteur vérifiera aisément (si ce n'est pas le cas il pourra toujours nous contacter pour que

nous en rédigions les détails) les propriétés suivantes des matrices de Pauli dont certaines

seront utilisées dans le chapitre de physique quantique relativiste:

P1. Unitarité:

(15.65)

P2. Anticommutativité:

(15.66)

pour et

Les deux dernières propriétés nous donnent :

(15.67)

avec

P3. Cyclicité:

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