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Notes sur les propriétés géométriques - 2° partie, Notes de Mathématiques

Notes de mathématique sur les propriétés géométriques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations correspondantes, les composantes du produit vectoriel.

Typologie: Notes

2013/2014

Téléchargé le 14/01/2014

Caroline_lez
Caroline_lez 🇫🇷

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Télécharge Notes sur les propriétés géométriques - 2° partie et plus Notes au format PDF de Mathématiques sur Docsity uniquement! (15.68) P4. Commutation: (15.69) P4. Produit vectoriel: Soit le carré des composantes de en notant abusivement par "1" la matrice unitaire (nous changeons les indices afin de vous habituer aux autres notations courantes): (15.70) Ce qui conduit à écrire que : (15.71) Considérons maintenant les produits suivants : (15.72) Toutes ces relations peuvent se résumer sous la forme: (15.73) où pour rappel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) le symbole de Kronecker est défini par: (15.74) et le tenseur d'antisymétrie par: Nous avons aussi : (15.75) Nous retrouvons donc ici les composantes du produit vectoriel: (15.82) d'où les valeurs propres . Ce qui nous permet de déterminer les vecteurs propres comme suit : (15.83) Donc pour : (15.84) Ce qui impose que . Le vecteur propre est donc : (15.85) quelle que soit la valeur de x. Conclusion : La direction propre du vecteur est conservée mais pas sa longueur car elle dépend de la valeur de x. Pour : (15.86) Ce qui impose que et donc que le vecteur propre est : (15.87) Les vecteurs propres précédents écrits avec le formalisme de Dirac (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) donnent pour : (15.88) avec une norme de (1 puisque nous normalisons à l'unité): (15.89) Remarque: Dans le formalisme de Dirac, est la Bra et est le Ket. Ceci n'étant valable que pour des composantes qui sont des nombres réels. Le vecteur propre normé a donc pour expression : (15.90) et pour : (15.91) et: (15.92) et le vecteur propre normé a donc pour expression: (15.93) Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à en procédant de même : Nous avons donc pour les valeurs propres : (15.94) Les vecteurs propres se déterminant comme suit : (15.95) et donc pour : (15.96) Le vecteur propre est dès lors : (15.97) La norme associée : (15.98) Le vecteur propre normé a donc pour expression: (15.99) Pour : (15.100) Le vecteur propre est dès lors : (15.101) la norme associée : (15.102) . Le vecteur normé a donc pour expression: (15.103)
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