Notes sur les propriétés géométriques - 2° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les propriétés géométriques - 2° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les propriétés géométriques - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les relations correspondantes, les composantes du produit vectoriel.
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(15.68)

P4. Commutation:

(15.69)

P4. Produit vectoriel:

Soit le carré des composantes de en notant abusivement par "1" la matrice unitaire (nous

changeons les indices afin de vous habituer aux autres notations courantes):

(15.70)

Ce qui conduit à écrire que :

(15.71)

Considérons maintenant les produits suivants :

(15.72)

Toutes ces relations peuvent se résumer sous la forme:

(15.73)

où pour rappel (cf. chapitre de Calcul Tensoriel) le symbole de Kronecker est défini par:

(15.74)

et le tenseur d'antisymétrie par:

Nous avons aussi :

(15.75)

Nous retrouvons donc ici les composantes du produit vectoriel:

(15.76)

Maintenant voyons une identité spinorielle qui nous sera utile dans le chapitre de Physique

Quantique Relativiste:

(15.77)

Or:

(15.78)

Donc finalement:

(15.79)

P5. Nous noterons que ces matrices sont aussi hermitiennes (rappelons qu'une matrice

hermitienne est une matrice transposée suivie de sa conjuguée complexe selon ce que nous

avons vus dans le chapitre d'Algèbre Linéaire) tel que :

(15.80)

Il s'agit donc dans le langage de la physique quantique, d'opérateur hermitiques!

Voyons maintenant quelles sont les vecteurs et valeurs propres des matrices de Pauli car ce

résultat est très utile en physique quantique ainsi qu'en informatique quantique!

Rappelons que lorsqu'une transformation (application d'une matrice) agit sur un vecteur, elle

modifie la direction de ce vecteur excepté pour certaines matrices particulières qui ont des

valeurs propres. Dans ce cas, la direction est conservée mais pas leur longueur. Cette propriété

est exploitée en mécanique quantique.

Déterminons dans un premier temps, les vecteurs et valeurs propres (cf. chapitre d'Algèbre

Linéaire) associées à en utilisant la méthode la plus courante :

L'équation aux valeurs propres (cf. chapitre d'Algèbre Linéaire) s'écrit donc:

(15.81)

Ce qui nous donne comme équation de caractéristique :

(15.82)

d'où les valeurs propres . Ce qui nous permet de déterminer les vecteurs propres comme

suit :

(15.83)

Donc pour :

(15.84)

Ce qui impose que . Le vecteur propre est donc :

(15.85)

quelle que soit la valeur de x.

Conclusion : La direction propre du vecteur est conservée mais pas sa longueur car elle dépend

de la valeur de x.

Pour :

(15.86)

Ce qui impose que et donc que le vecteur propre est :

(15.87)

Les vecteurs propres précédents écrits avec le formalisme de Dirac (cf. chapitre de Physique

Quantique Ondulatoire) donnent pour :

(15.88)

avec une norme de (1 puisque nous normalisons à l'unité):

(15.89)

Remarque: Dans le formalisme de Dirac, est la Bra et est le Ket.

Ceci n'étant valable que pour des composantes qui sont des nombres réels. Le vecteur propre

normé a donc pour expression :

(15.90)

et pour :

(15.91)

et:

(15.92)

et le vecteur propre normé a donc pour expression:

(15.93)

Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à en procédant de

même :

Nous avons donc pour les valeurs propres :

(15.94)

Les vecteurs propres se déterminant comme suit :

(15.95)

et donc pour :

(15.96)

Le vecteur propre est dès lors :

(15.97)

La norme associée :

(15.98)

Le vecteur propre normé a donc pour expression:

(15.99)

Pour :

(15.100)

Le vecteur propre est dès lors :

(15.101)

la norme associée :

(15.102) .

Le vecteur normé a donc pour expression:

(15.103)

Déterminons maintenant, les vecteurs et valeurs propres associées à en procédant de

même.

Nous avons alors :

(15.104)

Les vecteurs propres sont alors pour :

(15.105)

ce qui nous pose légèrement problème pour dire quoi que ce soit... la seule possibilité est de

choisir et ainsi :

(15.106)

et la norme associée :

(15.107)

Le vecteur propre normé a alors pour expression:

(15.108)

et pour nous aurons le même choix à faire en posant cette fois-ci donc :

(15.109)

d'où la norme associée :

(15.110)

Le vecteur propre normé a donc finalement pour expression:

(15.111)

Donc les vecteurs propres normés de se trouvent sur les directions des axes de

coordonnées cartésiennes. C'est pour cette raison particulière que les vecteurs propres

de sont notés en informatique quantique:

(15.112)

et il faut savoir que l'on note alors aussi:

(15.113)

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