Notes sur les régressions et les interpolations - 3° partie, Notes de Mathématiques
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les régressions et les interpolations - 3° partie, Notes de Mathématiques

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Notes de mathématique sur les régressions et les interpolations - 3° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les polynômes de Bernstein, la méthode d'euler, le polynôme de collocation.
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D'abord, nous savons que l'équation d'une droite que nous noterons dans le domaine (par

respect de tradition) Mjoignant deux points est:

(57.163)

Ce qui est juste puisque lorsque nous sommes en A et lorsque nous sommes en B.

Donc et le point M parcoure tout le segment [AB]. Par construction, si A et B étaient

des masses physiques égales à l'unité, représente le barycentre (centre de gravité) du

système pour un t donné.

Par définition, le segment [AB] est par définition la "courbe de Bézier de degré 1" avec points de

contrôle A et B et les Polynômes 1-t et t sont les "polynômes de Bernstein de degré 1".

Construisons maintenant une courbe paramétrée en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède:

(57.164)

1ère étape :

- Soit le barycentre de (A,1-t) et (B, t) et où décrit [AB].

- Soit le barycentre de (B,1-t) (C, t) et où décrit [BC].

2ème étape :

- Soit M(t) le barycentre de ( ,1-t) ( ,t).

Par construction, M(t) se situe donc à la même proportion du

segment que par rapport au segment [AB] ou par rapport au

segment [BC].

La courbe obtenue est alors l'enveloppe des segments : en tout point M, la

tangente à la courbe est donc le segment .

M(t) décrit alors une Courbe de Bézier de degré 2, qui, par construction

commence en A et se finit en C, et a pour tangentes [AB] en A et [BC] en C.

C'est en fait un arc de parabole (que nous pourrions noter très logiquement [ABC] ) :

(57.165)

Par le même schéma, nous pouvons définir une courbe de Bézier de n points soit .

C'est ce que nous appelons "l'algorithme de Casteljau". Ainsi, soit:

(57.166)

Nous avons:

(57.167)

La récurrence se terminant pour:

(57.168)

Ainsi, pour nous avons trivialement:

(57.169)

Soit:

(57.170)

Ainsi, nous avons forcément avec deux points l'équation d'une droite.

Considérons maintenant M(t) la courbe de Bézier d'ordre 3, nous avons donc les points définis

par:

(57.171)

Nous avons par la relation de récurrence:

(57.172)

où nous avons éliminé les termes contenant des points non déterminés.

Nous avons donc:

(57.173)

Il vient alors:

(57.174)

Et donc:

(57.175)

Soit sous forme matricielle:

(57.176)

Par le même raisonnement, nous avons pour une courbe de Bézier d'ordre 4:

(57.177)

Et là nous pouvons creuser un peu les coefficients en comparant les coefficients de Bézier des

courbes d'ordre 2, 3 et 4.

D'abord, reprenons la courbe de Bézier précédente:

(57.178)

Nous remarquons d'abord aisément la proportionnalité suivante:

(57.179)

et si on regarde de plus près les coefficients nous remarquons que nous avons aussi:

(57.180)

Il ne s'agit ni plus ni moins que du triangle de Pascal!! Et donc les constantes sont simplement

les coefficients binomiaux (cf. chapitre de Calcul Algébrique) donnés par pour l'ordre n dans

notre cas par:

(57.181)

Ainsi, les polynômes de Bernstein sont donnés par:

(57.182)

et finalement les courbes de Bernstein par d'ordre n :

(57.183)

Au fait, si nous avions noté plus haut la somme sous la forme suivante:

(57.184)

Nous aurions alors les polynômes de Bernstein qui seraient donnés (ce qui est plus respectueux

des traditions....):

(57.185)

C'est une relation très pratique car elle permet de calculer facilement et rapidement le

polynôme correspondant à une courbe de Bézier d'ordre n.

Nous avons alors:

(57.186)

Remarque: Une courbe de Bézier est totalement modifiée dès qu'on déplace un point de contrôle.

Nous disons alors que la méthode de Bézier est une "méthode globale".

Un exemple très connu des courbes de Bézier d'ordre 3 est l'outil Plume des produits phares

Adobe Photoshop ou Adobe Illustrator. Effectivement ces deux outils créent une succession de

courbes de Bézier d'ordre 3 dont le point est défini après coup à la souris en utilisant des

poignées ("torseurs" dans le langage de spécialistes Adobe...). Voici un exemple prix d'un de

ces logiciels fait avec un tracé à la plume de 5 points (soit 4 splines):

(57.187)

Tant que l'utilisateur ne bouge pas les poignées de points alors tous les points sont alignés sur

la droite. Nous avons alors l'impression d'avoir une spline d'ordre 2.

MÉTHODE D'EULER

Il s'agit là de la méthode numérique la plus simple (elle est triviale et dans l'idée assez proche

de la méthode de Newton même si leur objectif n'est pas le même). En fait elle ne fournit une

approximation (au sens très large du terme) d'une fonction f(x) dont la dérivée est connue.

Ici les points choisis sont équidistants, c'est-à-dire (h étant le "pas"). Nous

notons la valeur exacte et , la valeur approchée.

Il y a plusieurs méthodes pour procéder (comme souvent) :

1. Graphiquement :

Nous nous déplaçons d'un pas en en suivant le vecteur de pente f(x,y)

Par construction nous savons (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que (nous adoptons

une notation un peu particulière dans ce contexte) :

(57.188)

qui correspond donc bien à la pente (non instantané bien sûr!) en de la "courbe

intégrale" passant par ce point. D'où :

(57.189)

2. Analytiquement :

Nous remplaçons dans la dernière relation par . Nous obtenons alors :

(57.190)

appelée "équation aux différences pour la méthode d'Euler".

L'application en est triviale et ne nécessite pas d'exemples particuliers.

POLYNÔME DE COLLOCATION

Soit une fonction connue sous forme explicite ou sous forme tabulée, et supposons

qu'un certain nombre de valeurs :

(57.191)

en sont données. Les points sont appelés les "points d'appui".

"Interpoler" f signifie estimer les valeurs de f pour des abscisses situées entre et , c'est-à-

dire dans l'intervalle d'interpolation, par une fonction approximante , qui vérifie les

"conditions de collocations" (rien à voir avec votre colocataire !) :

(57.192)

La fonction p s'appelle "fonction de collocation" sur les . Lorsque p est un polynôme, nous

parlons de "polynôme de collocation" ou de "polynôme d'interpolation".

"Extrapoler" f signifie approcher f(x) par p(x) pour des abscisses situées "hors" de l'intervalle

d'interpolation.

Remarque: Il va sans dire que l'interpolation est un outil très important pour tous les chercheurs,

statisticiens et autres.

Quand nous connaissons un polynôme de degré n en n+1 points, nous pouvons donc connaître

par une méthode simple (mais pas très rapide - mais il existe plusieurs méthodes)

complètement ce polynôme.

Pour déterminer le polynôme, nous allons utiliser les résultats exposés précédemment lors de

notre étude des systèmes d'équations linéaires. Le désavantage de la méthode présentée ici est

qu'il faut deviner à quel type de polynôme nous avons affaire et savoir quels sont les bons

points qu'il faut choisir...

Un exemple particulier devrait suffire à la compréhension de cette méthode, la généralisation

en étant assez simple (voir plus loin).

Soit un polynôme du second degré :

(57.193)

et nous avons connaissances des points suivants (dont vous remarquerez l'ingéniosité des

points choisis par les auteurs de ces lignes...) :

(57.194)

Nous en déduisons donc le système d'équations :

(57.195)

Système qui une fois résolu dans les règles de l'art nous donne :

(57.196)

Voyons le cas général :

Théorème : Soient des points d'appui, avec si . Alors il existe un

polynôme de degré inférieur ou égal à n, et un seul, tel que pour

.

Démonstration:

Posons :

(57.197)

Les conditions de collocation :

(57.198)

s'écrivent donc :

(57.199)

Il s'agit d'un système de n+1 équations à n+1 inconnues.

Sont déterminant s'écrit :

(57.200)

relation que nous appelons "déterminant de Vandermonde". Nous savons que si le système à

une solution, le déterminant du système doit être non nul (cf. chapitre d'Algèbre linéaire).

Montrons par l'exemple (en reprenant un polynôme du même degré que celui que nous avons

utilisé plus haut) que le déterminant se calcule selon la relation suivante précédente (le lecteur

généralisera par récurrence) :

Donc dans le cas , nous considérons le déterminant :

(57.201)

qui correspond dont au système (pour rappel) :

(57.202)

Calculons ce déterminant suivant la colonne 1 (en faisant usage des cofacteurs comme

démontré dans le chapitre d'Algèbre linéaire) :

(57.203)

Ce dernier polynôme peut s'écrire :

(57.204)

Ce qui s'écrit :

(57.205)

Comme les sont l'énoncé de notre problème tous différents tels que alors le système

a une solution unique. Ce qui prouve qu'il existe toujours alors un polynôme d'interpolation.

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