Notes sur les relations de Maxwell - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les relations de Maxwell - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur les relations de Maxwell - 1° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les différentes relations, l'équation de continuité.
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Revenons dans un premier temps ce que nous avons déjà rappelé un peu plus haut mais en nous

restreignant à deux variables. C'est-à-dire à la différentielle totale exacte:

(33.123)

Nous avons donc aussi:

(33.124)

En insérant dx dans dy:

(33.125)

ou encore:

(33.126)

comme les termes entre parenthèses sont des fonctions et que dx et dz sont par contre arbitraires,

la seule solution à cette relation est:

(33.127)

Multipliant la deuxième relation par :

(33.128)

Nous avons alors:

(33.129)

Venons en maintenant aux faits. Rappelons la relation:

(33.130)

relation très utile dans les fluides où la pression est constante et la variation de chaleur se fait par

celle de l'entropie. Ainsi que la relation définissant l'enthalpie:

(33.131)

dont nous allons modifier la différentielle:

(33.132)

et y injectant (premier principe):

(33.133)

nous avons:

(33.134)

et en y injectant l'entropie (deuxième principe) nous obtenons:

(33.135)

Nous allons donc utiliser les deux relations suivantes qui vont nous être utiles:

(33.136)

Nous introduisons maintenant une nouvelle quantité que nous appelons "énergie libre" (celle qui est

réellement disponible dans le système) et qui sera donnée par:

(33.137)

et donne simplement la différence entre l'énergie interne et l'énergie calorique dissipée à cause de

l'entropie à une température donnée.

Nous introduisons également une autre nouvelle quantité que nous appelons "enthalpie libre" (celle

qui est réellement disponible dans le système) et qui sera donnée identiquement par:

(33.138)

qui est simplement la différence entre l'enthalpie et l'énergie calorifique dissipée à cause de

l'entropie à une température donnée.

Nous avons donc pour l'énergie libre la forme différentielle:

(33.139)

en y injectant le premier principe et deuxième principe:

(33.140)

et de même pour l'enthalpie libre:

(33.141)

en y injectant:

(33.142)

Nous avons donc quatre relations:

(33.143)

appelées "équations de Gibbs".

Nous remarquons que toutes ces équations sont toutes de la forme:

(33.144)

Or, rappelons que selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral) que

sidz est bien une différentielle totale exacte nous avons alors:

(33.145)

Ce qui nous donne les quatre relations:

(33.146)

Par ailleurs, par la définition même des dérivées partielles et des quatre relations:

(33.147)

nous avons:

(33.148)

Toutes ces relations sont mises à profit pour calculer les variables thermodynamiques non

directement mesurables à partie des données expérimentales.

Maintenant voyons une relation qui nous sera utile en météorologie!:

Nous savons que la chaleur spécifique est donnée par définition à pression constante par:

(33.149)

Or à pression constante, la variation de chaleur peut s'écrire par définition avec la variation

d'enthalpie:

(33.150)

Maintenant rappelons que l'enthalpie s'écrit:

(33.151)

comme dS est une différentielle exacte, nous pouvons l'écrire en fonction des paramètres de

température et de pression seuls:

(33.152)

Nous avons donc:

(33.153)

Comme par ailleurs dH est une différentielle exacte, nous pouvons aussi l'écrire en fonction des

paramètres de température et de pression seuls:

(33.154)

Nous avons alors les deux relations à identifier:

(33.155)

Il vient alors:

(33.156)

équation de continuité

Considérons de manière générale un système ouvert, limité par une frontière quelconque

(déformable ou non) et animé d'un mouvement quelconque (en déplacement ou immobile) par

rapport à un référentiel considéré comme fixe.

Ce système, qui est représenté sur la figure ci-dessous est susceptible de transférer de l'énergie (ou

de la masse) entre lui-même et l'extérieur. Ce système peut être inertiel ou non.

Soit une grandeur extensive A (comme la masse ou la charge). La grandeur quantitative

correspondante est a (elle peut exprimer par exemple l'isotropie ou l'anisotropie du système).

(33.157)

D'une façon générale, la valeur de A à l'intérieur du système est, à un instant quelconque:

(33.158)

étant la densité de la grandeur quantitative A.

Le taux de variation spatial de A est donné par la dérivée dA/dt. Les causes de variations

de Apeuvent être liées à deux phénomènes différents: les flux et les sources ou puits.

En comptant positivement ce qui entre dans le système, le flux de A à travers la frontière est

donnée par l'intégrale de surface:

(33.159)

dans laquelle nous définissons:

- comme le vecteur flux surfacique (ou le vecteur densité de courant) total relatif à A

- comme l'élément de frontière, exprimé par un vecteur normal à la surface et dirigé vers

l'extérieur

Remarquons que, contrairement à l'acceptation usuelle en physique, le concept de flux contient déjà

la dérivation par rapport au temps. Par ailleurs, afin d'alléger le texte, l'expression vecteur flux

surfacique est réduite au terme flux dans tout ce qui suit.

Ce flux peut être décomposé en plusieurs flux, selon la relation:

(33.160)

Le terme est un flux par déplacement absolu, caractérisant un flux lié à un écoulement fluide.

Nous avons la relation:

(33.161)

où est la vitesse absolue d'une particule fluide par rapport au référentiel fixe.

Le terme est un flux par déplacement apparent, mis en jeu seulement lorsque la frontière se

déplace (par exemple si le volume V est en révolution). Nous avons la relation:

(33.162)

où est la vitesse absolue de déplacement (dans le sens déformation!) d'un point de la frontière

, par rapport au référentiel fixe.

Le terme est le flux total par conduction, caractérisant un flux lié à un phénomène de transfert

de proche en proche, sans déplacement fluide (par exemple: conduction thermique, conduction

électrique, travail mécanique).

Le terme est un flux par déplacement relatif, résultant à la fois du déplacement du fluide et de

celui de la frontière . Nous avons la relation:

(33.163)

où est la vitesse relative d'une particule fluide par rapport à un point bien défini de la frontière

. En vertu du principe de composition des vitesses (vitesse absolue est la somme la vitesse relative et

de sa vitesse apparente), nous avons:

(33.164)

Lorsque la frontière est traversée par un fluide, le débit-masse élémentaire (c'est la masse qui

nous intéresse le plus souvent en physique donc sera une densité massique) est:

(33.165)

Le flux de A correspondant est alors donné par:

(33.166)

où désigne la portion de frontière traversée par le débit masse (ou fluide).

Si nous comptons positivement l'effet d'une source, le taux d'augmentation de A est donné par:

(33.167)

où est le flux volumique d'une source de A.

En tenant compte à la fois des flux et des sources, nous avons le taux de variation spatial de A:

(33.168)

Le bilan spatial de A est finalement exprimé par la relation:

(33.169)

Dans le cas particulier d'un système en régime permanent (par exemple dans le cas d'un fluide qui

s'écoule ou d'un solide qui est le siège de conduction thermique, de conduction électrique, de

réaction nucléaire,...), toutes les grandeurs locales sont constantes en tout point du système. Si, de

plus, nous choisissons une frontière indéformable, il est possible de raisonner par rapport à un

référentiel lié au système. Nous avons alors, en tout point fixe du système par rapport à ce

référentiel:

; ; (33.170)

Il en résulte pour l'ensemble du système:

(33.171)

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