Notes sur les relations de Maxwell - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les relations de Maxwell - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur les relations de Maxwell - 2° partie Les principaux thèmes abordés sont les suivants: l'équation de la chaleur, l'équation différentielle, la solution.
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Donc dans le cas particulier d'un système en régime permanent, avec une frontière indéformable ,

liée au système, le taux de variation spatial de toute grandeur extensive scalaire est nul.

Le taux de variation uniquement spatial de A est:

(33.172)

La variation élémentaire du volume V est due au déplacement (au sens de la déformation!) de la

frontière , de sorte que

(33.173)

Dès lors nous pouvons écrire que:

(33.174)

nous avons donc:

(33.175)

En prenant en compte les flux des sources et des puits nous avons:

(33.176)

Le théorème de Gauss-Ostrogradsky (cf. chapitre de Calcul Vectoriel) va nous permettre d'écrire

l'intégrale de surface en une intégrale de volume, et en groupant tous les termes sous le même signe

intégrale, nous obtenons:

(33.177)

Comme les limites d'intégration (frontière ) sont arbitraires, l'expression entre crochets est

identiquement nulle.

(33.178)

Considérons maintenant que la grandeur extensive scalaire soit la masse M, nous avons alors:

(33.179)

avec .

Comme la masse n'est pas susceptible d'être transférée par un phénomène de conduction (dans un

cas classique (non quantique)), nous avons qui est nul. Comme la masse est conservative, il n'y

a ni source, ni puits de masse de sorte que est également nul.

Nous avons dès lors:

(33.180)

La relation:

(33.181)

est appelée "équation de continuité" ou encore "équation de conservation (de la masse)".

Le signe "-" est ici car nous avons défini le flux entrant comme étant positif. Il est possible que dans

la littérature ainsi que sur ce site vous trouviez un "+" à la place de ce signe.

Il y a une autre forme beaucoup plus fréquente sous laquelle nous trouvons l'équation de continuité.

Le lecteur aura remarqué que le terme a les unités d'une densité de surface de courant

massique ce qui nous amène en analogie avec l'électronique (cf. chapitre

d'Electrocinétique) à noter :

(33.182)

Ce qui ramène l'équation de continuité à :

(33.183)

ÉQUATION DE LA CHALEUR

Appliquons maintenant ce résultat à la diffusion de la chaleur.

Comme pour l'équation de conservation de la masse nous pouvons écrire pour la chaleur dans le cas

d'absence de sources:

(33.184)

où q est la quantité de chaleur par unité de volume (ne pas l'oublier sinon nous aurions pris

un Qmajuscule!) et le flux de chaleur dont la quantité entrante a été définie comme négative.

Une variation de température entraînant une variation de la quantité de chaleur est définie en

première approximation par la loi physique suivante (cela découle de la définition de la chaleur

spécifique massique aussi...):

(33.185)

où est la densité de matière et est la capacité calorifique massique. Ou de manière équivalent

e (puisqu'en thermodynamique, comme nous l'avons déjà précisé les minuscules sont rapportées à la

masse):

Le flux de chaleur étant trivialement induit par une différence spatiale de température nous

obtenons alors la "loi de Fourier" qui exprime le flux de chaleur proportionnellement au gradient

spatial de température:

(33.186)

Le signe "-" étant simplement dû au fait que le flux de chaleur va du plus chaud au plus froid et

est le "coefficient de transport de la chaleur" exprimant la "conductivité thermique" du matériau

dépendant des propriétés atomiques de la matière (cf. chapitre de Mécanique Statistique).

En insérant les deux précédentes relations dans l'équation de conservation de la chaleur nous avons

:

(33.187)

De façon plus esthétique et générale nous la retrouvons sous la forme condensée de "l'équation de

diffusion de la chaleur" ou appelé plus sobrement "équation de la chaleur" :

(33.188)

où le coefficient de proportionnalité est appelé dans cadre de cadre de la chaleur: "coefficient de

diffusion thermique":

(33.189)

Il est possible de démontrer son origine microscopique comme nous l'avons fait dans le chapitre de

Mécanique Statistique.

Il faut cependant toujours faire attention aux unités de suivant que nous travaillons avec la

capacité calorifique massique ou la capacité calorifique C au dénominateur!

Donc sous forme totalement explicite nous avons en une dimension :

(33.190)

Remarques:

R1. Nous retrouverons cette équation dans le chapitre de Méthodes Numériques pour introduire

le lecteur au concept de résolution d'équations différentielles par la méthode des éléments finis.

R2. C'est en étudiant cette équation que Fourier a introduit les séries et la transformée qui portent

son nom, et qui sont devenues si importantes dans l'étude des phénomènes de

propagation/diffusion.

R3. L'équation de diffusion se retrouve dans de nombreux domaines (thermodynamique, fluides,

finance,...) et il existe une littérature considérable sur les différentes solutions de cette équation

différentielle du second ordre.

Insistons sur le fait que toutes les relations du type:

(33.191)

sont appelées "équations de diffusion" du paramètre physique D. Nous allons tout de suite voir

comment la résoudre en prenant comme exemple l'équation de diffusion de la chaleur et cela nous

permettra aussi de comprendre pour Fourier a introduit la fameuse transformée qui porte son nom.

Mais rappelons au lecteur que nous la retrouvons dans de multiples contextes (cf. chapitre de

Mécanique Statistique).

Remarque: Cette équation (du moins sa forme et donc l'étude de sa résolution!) se retrouve dans

des domaines inattendus comme dans la diffraction en physique ondulatoire, dans l'équation de

Schrödinger en physique quantique, en finance dans l'équation de Black & Scholes, en

électrocinétique dans le domaine des résistances, dans l'étude de la propagation des champs

électromagnétiques dans la matière, dans l'étude des réactions en chimie, en neutronique

nucléaire, etc.

Résolvons donc la forme générale de l'équation de diffusion:

(33.192)

Pour résoudre cette équation différentielle, nous allons procéder avec la méthode de séparation des

variables en supposant que:

(33.193)

ce qui donne:

(33.194)

d'où l'équation de diffusion:

(33.195)

ce qui remanié et condensé s'écrit aussi:

(33.196)

Ce qui peut s'écrire:

(33.197)

donc pour que légalité soit vraie pour tout t et x les fonctions G et F doivent être constantes. Donc

nous avons le droite d'écrire:

(33.198)

Le fait d'écrire la constante négative et à la puissance deux est une simple anticipation du résultat

historiquement déjà connu...

Ce qui nous donne les deux équations simples:

(33.199)

Nous résolvons la deuxième équation différentielle:

(33.200)

Donc :

(33.201)

Pour la première équation différentielle:

(33.202)

Nous avons le polynôme caractéristique:

(33.203)

Soit les racines:

(33.204)

Donc (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral):

(33.205)

Soit:

(33.2

06)

Alors là... nous sommes ennuyés parce que même si nous pouvons avec des conditions initiales

déterminer l'ensemble des constantes... la solution est dans l'ensemble des complexes.

(33.207)

Mais après une longue réflexion nous pouvons contourner la difficulté. Effectivement le physicien

habitué à travailler dans le domaine de l'analyse harmonique verra dans la relation précédente

quelque chose de similaire aux transformées de Fourier. Effectivement! Puisque pour chaque valeur

de possible nous obtenons une solution, il apparaît donc qu'en faisant la somme de toutes ces

solutions, nous obtenons toutes les solutions (séparables) de l'équation de la chaleur. Nous avons

donc:

(33.208)

Mais comme est un paramètre réel, il nous faut intégrer plutôt que de sommer:

(33.209)

Or si nous écrivons cela sous la forme suivante:

(33.210)

Nous y reconnaissons pour un temps t et à une constant près donnée la forme d'une transformée de

Fourier inverse!

Et alors direz-vous? Eh bien comme nous l'avons vu lors de notre étude des transformées de Fourier,

la transformée de Fourier inverse est une somme infinie de fonctions trigonométriques réelles!

Ensuite dans la pratique pour résoudre cette équation sous sa forme, nous allons imposer un spectre

de la température pour un temps donnée et faire la transformée de Fourier (c'est très théorique...).

Mais résolvons dans un cas simpliste mais réel: Lorsque deux extrémités d'un système de

taille L sont maintenues à deux températures différentes et , la solution de l'équation de la

chaleur est stationnaires (indépendante du temps). Nous avons alors:

(33.211)

La solution à cette équation différentielle est très simple (c'est du calcul intégral de base avec

conditions initiales connues):

(33.212)

C'est une situation que nous retrouvons dans la vie de tous les jours...

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