Notes sur les retours et les taux d'investissements, Notes de Management
Sylvestre_Or
Sylvestre_Or13 January 2014

Notes sur les retours et les taux d'investissements, Notes de Management

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Notes de gestion sur les retours et les taux d'investissements. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: les différents types de retour sur investissements, Les retours sur des investissements, les explications, ...
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Pour définir l'objectif poursuivi par le possesseur d'actifs financiers, nous nous référerons à la

motivation économique de tout acte d'investir. Celle-ci consiste concrètement à consentir

présentement à une dépense, en vue d'un accroissement de patrimoine espéré dans le futur.

De deux ou plusieurs stratégies d'investissements, la meilleure au niveau individuel est celle qui

maximise la capital final de l'investisseur.

Il existe alors différents types de retour sur investissements suivant l'objet d'étude. Ainsi, nous

différencions en finance (avant d'en voir les détails) :

1. Les retours d'actifs financiers sur une horizon économique (return on investment) et leur

taux de rendement respectifs (rate of return).

2. Les retours sur des investissements en comparaison à un taux géométrique moyen du

marché (goodwill) et la limite du taux de rentabilité correspondante (internal rate of return).

Ensuite, il faut considérer d'autres approches de taux de rentabilité outre le deux mentionnés

ci-dessus les deux autres grands classique sont (avant d'en voir les détails):

1. Le taux de retour pondéré par les capitaux investis (M.W.R.R.) qui a l'avantage par rapport au

taux de rendement interne du Goodwill de prendre en compte les investissements faits en

dehors des périodes temporelles classiques.

2. Le taux de retour pondéré dans le temps (T.W.R.R.) qui est un outil pratique pour mesurer la

performance des gestionnaires de fonds car il ne prend pas en compte les flux (retraits ou

investissements) des investisseurs qui sont incontrôlables.

Voyons donc un peu tout cela :

return on investment

En pratique, nous définirons l'objectif de l'investisseur comme consistant à maximiser

l'accroissement de sa fortune initiale, quelles que soient les modalités de cet accroissement.

Cet accroissement appelé donc en anglais "return on investment" (R.O.I.) ou, plus brièvement,

"return" est défini par la relation (logique) dans le cadre de la gestion d'actifs par :

(33)

où est donc le return de l'actif financier pour la période (se terminant au temps) t, le prix

du marché au temps t de l'actif financier et le revenu liquide attaché à la détention de l'actif

financier durant la période (se terminant au temps) t.

Le revenu est supposé perçu au temps t, ou, s'il est perçu entre et t, il est supposé

ne pas être ré-investi avant le temps t. Le prix de marché au temps est une valeur "ex-

coupon" c'est-à-dire une valeur enregistrée immédiatement après (le détachement du coupon

donnant à) la perception, au temps , du revenu liquide afférant à la période . Sur le

plan empirique, l'hypothèse de non réinvestissement jusqu'à la période élémentaire de temps

utilisée est courte (un mois maximum), afin d'éviter des distorsions statistiques trop

importantes dans le traitement des données chronologiques.

Pour faciliter les comparaisons entres investissements, nous utilisons une mesure exprimée en

termes relatifs le "taux de rentabilité" ou "rate of return" défini assez logiquement par :

(34)

où est le taux de rentabilité pour la période t.

Nous reviendrons lors de notre étude du modèle mathématique d'évaluation des actifs

financiers sur ces outils.

INTERNal rate of return

La mise en oeuvre d'un capital financier pour permettre la réalisation d'opérations d'économie

réelle (c'est-à-dire le fait de consacrer, directement ou indirectement, ce capital financier à

l'acquisition ou à la constitution de moyens de production, au sens le plus large de ce terme)

peut donc produire à travers le temps des retours d'argent sous la forme de flux nets liquidités

appelés "flux net de trésorerie" (F.N.T.) ou encore "cash flows" (C.F.) (cela fait toujours mieux en

anglais....).

Le calcul actuariel permet de construire formellement un critère de décision. En effet, nous

définissons (logiquement mais sans toutefois étant complétement réaliste) la prise de risque

par le "Goodwill" comme étant donné par la relation :

(35)

Explications :

Le deuxième terme à droite de l'égalité nous est déjà connu (nous l'avons vu lors de notre étude

du calcul actuariel) mais sous la forme :

(36)

Dans un contexte de certitude de l'avenir (...) il nous donne donc l'investissement initial à

effectuer à un pourcentage donné constant (...) pour avoir un retour sur investissement (cash

flow) à un taux d'intérêt périodique moyen géométrique t% (taux du marché) avec Tétant

l'horizon de l'opération (nombre de périodes), étant la dépense initiale d'investissement.

En d'autres termes, le Goodwill de l'opération représente les flux excédentaires actuels obtenus

après avoir remboursé la somme intiale investie au cours de sur sa durée d'utilisation et après

avoir rémunéré le capital encore investi au début de chaque période au taux d'actualisation.

Si :

(37)

A la formulation du critère de décision telle qu'elle vient d'être présentée, nombreux sont ceux,

notamment les praticiens, qui préfèrent la méthode dite du "taux interne de rentabilité" (TRI) ou

"internal rate of return" (I.R.R.). Celle-ci n'est en apparence qu'une variante de la première

formulation. Elle consiste à calculer un taux généralement symbolisé par la lettre grecque ,

qui annule la valeur du Goodwill (il s'agit donc de déterminer le taux de rentabilité tel que la

somme des flux nets de trésorerie soit égale au montant du capital investi) :

(38)

Si :

(39)

Nous voyons que le taux interne de rentabilité intervient dans le processus de décision de

manière à première vue équivalente à celle dont il est utilisé dans le calcul d'une valeur actuelle

nette. En outre, l'expression du résultat du calcul est indéniablement plus parlante que le

montant absolu (Goodwill) obtenu dans la première formulation. Nous inclinerions donc à

adopter la seconde formulation si celle-ci ne présentait, à l'examen approfondi, l'inconvénient

majeur que le calcul du taux interne de rentabilité comporte dans certains cas plusieurs

solutions. La relation est en effet une équation polynômiale dont nous avons démontré, dans le

chapitre d'Algèbre, qu'elle a autant de racines que le polynôme présente de changements de

signe.

MONEY WEIGHTED RATE OF RETURN

Nous allons maintenant introduire un type de taux interne de rentabilité différent de celui du lié

au Goodwill et qui s'applique mieux à la gestion de portefeuilles que le taux interne de

rentabilité vu plus haut (qui rappelons-le se base sur l'hypothèses que les cash-flow sont

déboursés à intervalles périodiques).

Considérons un fond F et les informations suivantes :

1. La valeur du fond juste avant le temps 0

2. La valeur du fond juste après le temps 1

3. Une valeur monétaire totale nette investie durant la période [0,1] payée (pour

simplifier l'exemple) en deux moitiés en début et fin de période

Les données qui vont nous intéresser sont les suivantes :

1. La valeur qui représente la valeur totale du fond et d'une partie de

l'investissement au moment 0.

2. La valeur qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler pour arriver

en fin de période à la valeur N/2 lorsque le taux du marché est à un taux t%.

3. La valeur qui représente le capital qu'il aurait fallu rassembler pour arriver en

fin de période à lorsque le taux du marché vaut aussi t%.

La différence :

(40)

donne le valeur qu'il aurait fallu capitaliser pour obtenir la somme en d'autres termes

la valeur finale du fond en fin de période investissement initial compris.

Ce qui est trivialement intéressant pour un investisseur est alors de connaître le taux tel

que :

(41)

soit :

(42)

relation qui est appelée "relation de Hardy".

Si cette relation se vérifie pour un connus et déterminés et supposé un investisseur

n'aura rien à gagner ni à perdre à investir dans le fond ou de capitaliser au taux du marché .

Si l'équation de Hardy n'est pas non nulle mais positive alors l'investissement dans le fond n'est

pas intéressant. Si elle est négative il vaut alors mieux investir dans le fond.

De l'algèbre élémentaire nous amène à la relation :

(43)

avec .

Effectivement :

(44)

Le taux est souvent nommé en gestion de fortune le "Money Weighted Rate of Return "

(M.W.R.R.). ou "Taux de Retour Pondéré par les Capitaux Investis" (T.R.P.C.I.).

Exemple:

Un fond a eu les revenus suivants pendant l'année 2006 :

- Valeur au 1er Janvier 2006 : 30 MFr.-

- Investissement sur le fond pendant l'année : 18 MFr.-

- Retraits sur le fond : 30 MFr.-

- Valeur du fond au 31 décembre 2006 : 21 MFr.-

Quel est le taux effectif (M.W.R.R.) de ce fond en 2006 ?

Nous avons alors comme données initiales ce qui donne si

nous assumons les hypothèses de départ concernant N :

(45)

et alors :

(46)

Considérons maintenant que nous savons que les investissements ont eu lieu le 16 Mai

(3/8ème de l'année) et les retraits 1 Octobre (9ème mois).

Le M.W.R.R. est alors le taux du cash flow :

(47)

Nous devons alors trouver t% tel que :

(48)

La résolution de cette équation avec Maple donne

Nous voyons qu'en considérant les cash-flows et le moment où ils ont lieu (donc une analyse

plus fine et rigoureuse) nous réduisons le M.W.R.R. Par ailleurs, le dernier calcul étant plus

rigoureux que le premier c'est celui que l'investisseur voudra connaître en fin d'année.

Ce taux est donc une mesure effective du taux d'accroissement du fond, donnant l'impact du

poids des cash-flows sur la valeur du fond. Il s'agit aussi au fait d'une simple généralisation du

IRR (Internal Rate of Return).

TIME WEIGHTED RATE OF RETURN

Nous allons maintenant nous intéresser à un autre outil financier de la gestion de portefeuilles

utilisé également pour juger du rendement d'un investissement.

Considérons un fond tel que :

Décembre

31. 2000

T1

2001

T2

2001

T3

2001

T4

2001

Valeur de début du fond

1000 370 81 7.8

Gain ou (perte) pour le trimestre %

10% 3% (4%) 6%

Gain ou (perte) pour le trimestre .-

100 11 (3.2) 0.5

Cash flows trimestriels entrées/(sorties)

(730) (300) (70) 0

Valeur du fond

1000 370 81 7.8 8.3

Tableau: 2 - Time Weighted Rate Of Return

Le 31 décembre 2000, le fond à une valeur de 1000.-. Durant le premier trimestre 2001 il a un

retour de 10% mais nous imaginons que cette valeur est loin de ce qui était attendu alors

l'investisseur retire 730.- du fond (portefeuille basé sur le fond). Lors du second trimestre, le

fond a gagné 3% et 300.- supplémentaires ont été retirés par l'investisseur. Lors du troisième

trimestre le fond a perdu 4% et 70.- on été retirés. Le dernier trimestre, le fond a gagné 6% et

aucun fond n'a été retiré.

Nous avons alors l'accroissement (retour) global sur l'ensemble de la période (année) qui est

donné par :

(49)

Nous voyons bien que cette valeur est indépendante des flux monétaires du portefeuille de

l'investisseur. Nous appelons la valeur de 15.3% le "Time Weighted Rate of Return" (T.W.R.R) ou

"Taux de Retour Pondéré dans le Temps" (T.R.P.T.).

Ce cas particulier peut être noté de manière générale par la relation :

(50)

Il convient de se rappeler que si nous avions voulu calculer calculer la moyenne du rendement

du fond par trimestre nous aurions simplement utilisé la moyenne géométrique (cf. chapitre de

Statistiques)!

Le T.W.R.R. est un outil pratique pour mesurer la performance des gestionnaires de fonds car il

ne prend pas en compte les flux (retraits ou investissements) des investisseurs qui sont

incontrôlables. Ainsi, nous avons une mesure de la qualité de la dynamique des fonds

indépendante du choix des investisseurs qui pourraint considérer les retraits ou

investissements comme des cash flow qui serviraient à calculer un I.R.R. qui n'aurait plus ou

moins aucune signification par rapport à la dynamique du fond

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