Notes sur les semi-conducteurs - 1° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les semi-conducteurs - 1° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur les semi-conducteurs - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: Le modèle de Sommerfeld, La théorie des semi-conducteurs: la théorie des bandes, le modèle semi-classique des band...
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Le défaut principal du modèle de Drude vu précédemment est de considérer l'électron comme

une particule classique. Un ensemble de telles particules n'est évidemment pas soumis au

principe d'exclusion de Pauli. Autrement dit, à température nulle, ils peuvent tous posséder une

énergie nulle comme le montrent les expressions mathématiques que nous avons obtenues. Par

ailleurs, le modèle de Drude nous a montré aussi que la résistivité augmente lorsque la

température s'élève alors que c'est l'inverse pour le silicium!

Au fait, nous retenons en général quatre dates à la source du développement de cette théorie:

- En 1833, Michael Faraday fait état de la conductivité d'un matériau qui augmente avec la

température.

- En 1839, Antoine Becquerel découvre que sous illumination une tension électrique apparaît à

la jonction de certains matériaux (et liquides). C'est l'effet photovoltaïque, qui donnera

naissance beaucoup plus tard (vers 1950) aux cellules solaires.

- En 1873, Willoughby Smith montre que la conductivité de certaines substances augmente

lorsque qu'on les illumine. C'est la photoconductivité.

- Enfin, en 1874 Karl Ferdinand Braun découvre le phénomène de redressement électrique

lorsqu'une pointe métallique est déposée sur certains conducteurs, c'est-à-dire que le courant

électrique passe dans un sens lorsque le potentiel électrique appliqué à la pointe est positif

mais non lorsqu'il est négatif!

Bien que ces découvertes fussent totalement incomprises et surtout non reconnues comme

étant les différentes expressions d'un même phénomène physique (la semi-conductivité), les

application pratiques furent immédiates et menèrent à la deuxième révolution industrielle qui

est celle de la microélectronique!

Ce type de difficulté (parmi de nombreuses autres...) s'efface en grande partie avec le modèle

de l'électron libre dans un puits de potentiel, imaginé par Sommerfeld en 1928. Dans ce modèle

les électrons, soumis au principe de Pauli, suivent la distribution en énergie de Fermi-Dirac (cf.

chapitre de Mécanique Statistique), alors que dans le modèle de Drude ils suivaient la loi de

Maxwell-Boltzmann.

Il en découle deux résultats importants :

- Seule une fraction des électrons est susceptible de voir son énergie varier sous l'effet d'une

action extérieure (température, champ électrique, etc.)

- Même au zéro absolu, l'énergie cinétique des électrons n'est pas nulle.

Le modèle de Sommerfeld fournit une base pour l'édification de théories plus spécifiques et est

à la base du domaine de la "physique du solide" selon certaines sources. Ce n'est donc pas un

modèle achevé traitant d'un problème précis comme la conduction électrique ou l'émission

thermoélectronique. Cette base est la distribution en énergie des électrons, obtenue par le

produit de deux fonctions : la densité des états et la distribution de Fermi-Dirac.

Malgré les améliorations qu'il apporte, ce modèle ne donne cependant pas une description

satisfaisante des propriétés électroniques des solides dans tous les cas. Ses limitations

proviennent du fait qu'il ne tient pas compte implicitement de la structure réelle des matériaux

et des interactions entre électrons. Ce modèle ne permettra donc jamais d'expliquer

objectivement pourquoi tel cristal est conducteur, et tel autre isolant ou semi-conducteur (par

exemple le diamant et le silicium ont la même structure cristalline et configuration électronique

mais à partir d'une certaine température l'un devient conducteur et l'autre reste isolant!).

La théorie des semi-conducteurs, appelée plus souvent "théorie des bandes" pour des raisons

que nous verrons plus loin, est aussi un exemple fameux de l'application des résultats de la

physique quantique ondulatoire (voir chapitre du même nom) et de la statistique quantique (cf.

chapitre de Mécanique Statistique).

Pour son étude, nous nous concentrerons ici sur le modèle scolaire qualitatif le plus simple qui

est celui basé sur un semi-conducteur cristallin avec un réseau parfaitement périodique et à

bandes paraboliques (nous préciserons cela à nouveau plus loin).

Le lecteur un peu critique verra que les développements qui vont suivre ne sont cependant pas

purement quantiques (il y a un même avec la mécanique classique limite acceptable)... donc

l'approche est un peu grossière mais elle permet d'avoir une idée qualitative des phénomènes

dans les semi-conducteurs. C'est une des raisons pour laquelle ce modèle est appelé "modèle

semi-classique des bandes paraboliques".

Au fur et à mesure des années nous compléterons les développements qui vont suivre pour au

final tenter d'avoir toute la démarche détaillée. D'ici là il faudra être patient...

Nous ferons abstraction des concepts qui ne sont pas absolument nécessaire à l'introduction du

modèle pour présenter ici uniquement l'essentiel qui suffit à l'ingénieur dans son travail

quotidien.

Pour commencer la partie mathématique de l'étude des semi-conducteurs, nous considérerons

un cristal soumis à une différence de potentiel. Un électron de conduction du cristal sera donc

soumis d'une part à une force interne résultant du champ cristallin, et d'autre part à une

force d'origine externe résultant du champ électrique appliqué au cristal.

Les hypothèses du modèle sont :

H1. Il existe à la surface des métaux une barrière de potentiel empêchant les électrons de

quitter la matière.

H2. À l'intérieur de la matière, les électrons sont soumis à un potentiel constant!

H3. Les électrons sont indépendants (pas d'interactions entre eux).

H4. Les électrons obéissent aux lois de la mécanique quantique et classique

H5. Les électrons obéissent aux lois de l'électrodynamique de Maxwell

H6. Les bandes d'énergie forme un spectre continu de niveaux d'énergie

La première hypothèse repose sur l'observation élémentaire suivante : les électrons se

déplaçant dans un métal ne franchissent pas, à température ambiante tout au moins, les

surfaces limitant l'échantillon.

La deuxième hypothèse paraît assez brutale. C'est elle qui bannit du modèle la notion de

structure de la matière. Elle sera remplacée dans le modèle des bandes d'énergie (sect. 2.6) par

un potentiel périodique rendant compte de l'influence des noyaux chargés positivement. Cette

hypothèse traduit le fait que les électrons sont considérés comme libres dans le puits de

potentiel.

La barrière de potentiel possède une largeur finie, c'est-à-dire que le passage du potentiel

régnant à l'intérieur de la matière au potentiel régnant à l'extérieur se fait sur quelques

distances interatomiques. Mais les dimensions de l'échantillon étant en pratique toujours très

grandes vis à vis d'une distance interatomique, on peut considérer la barrière de potentiel

comme infiniment abrupte, ce qui simplifie les calculs.

Remarque: Nous admettrons pour simplifier les calculs que les électrons se déplacent dans une

seule direction (celle du champ électrique) ce qui évitera de se balader avec des vecteurs.

L'équation de la dynamique s'écrit alors naturellement pour cet électron:

(38.94)

Nous écrivons alors (rien ne nous interdit de le faire) que l'électron dans le cristal répond à la

sollicitation de la force externe comme une quasi-particule de masse dans le vide:

(38.95)

C'est l'étude de ce dernier terme qui va nous intéresser. Pour cela rappelons que dans le cadre

de l'étude détaillée de la propagation de l'électron libre dans le vide, où nous négligeons les

effets de son spin, nous avons démontré qu'il doit obligatoirement être décrit selon l'équation

de Schrödinger par un paquet d'onde (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) centré

sur un état sinon quoi sont énergie serait infinie.

Peut cependant se poser la question.... de ce qui nous amène à le considérer comme libre.... Eh

bien c'est l'expérience qui montre que lorsque nous appliquons un certain potentiel seuil, un

courant commence à apparaître dans les semi-conducteurs.

Nous avons démontré (toujours dans le cadre de la propagation de la particule libre sans spin

dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire) que le paquet d'onde peut alors être vu

dans sa solution mathématique comme une onde plane (libre) se déplaçant à la vitesse de

phase:

(38.96)

que nous noterons pour la suite afin de simplifier les notations:

(38.97)

Or, dans le réseau cristallin, la vitesse de phase peut varier, en fonction de l'endroit du réseau

où se trouve l'électron à cause de forme géométrique potentiel dans le cristal. Il nous faut donc

utiliser la vitesse de phase instantanée:

(38.98)

Rappelons que nous avons aussi en toute généralité l'énergie totale donnée par:

(38.99)

Il vient alors:

(38.100)

Le terme:

(38.101)

n'est de loin pas simple dans le cas d'un cristal (c'est même un cauchemar...).

Evidemment pour une particule libre (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire),

rappelons qu'il s'agit de:

(38.102)

Mais pour une particule dans un champ de potentiel ayant une géométrie complexe

l'énergie E commence à avoir une expression dépendante de k en fonction des zones qui peut

devenir très complexe (voir les exemples du chapitre de Physique Quantique Ondulatoire). D'où

la justification de l'utilisation de la dérivée.

L'accélération au sens classique de cet électron est alors donnée par:

(38.103)

Nous avons aussi (cf. chapitre de Mécanique Classique):

(38.104)

donc:

(38.105)

d'où:

(38.106)

La dérivée de par rapport à dans la relation précédente s'annulera car la force découle du

potentiel appliqué sur le semi-conducteur seulement et non pas du vecteur d'onde de l'électron

lui-même! Il nous reste alors:

(38.107)

Puisque ici E est l'énergie totale au potentiel soumis de l'extérieur seulement, alors la

force est la force externe générée par l'application du potentiel. Nous avons alors:

(38.108)

et:

(38.109)

Il vient alors par égalisation:

(38.110)

Puisque l'énergie de l'électron peut avoir une forme mathématique compliquée conformément

au cas applicatifs vus dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire,

exprimons sous forme de développement limité de Taylor (cf. chapitre de Suites et Séries)

d'une fonction à trois variables au deuxième ordre en laissant tomber les termes d'interactions

et en en ne prenant pas les termes de premier degré:

(38.111)

Au fait cette approximation grossière mais toutefois acceptable dans pas mal de cas pratiques

tient au fait que l'expérience montre que les surfaces d'énergie en fonction de k ont en

approximation une forme parabolique dans certains cristaux semi-conducteurs.

Dans les conducteurs, l'approximation de la relation précédente n'est prise qu'au premier

terme.

Une autre manière de le voir est que pour un électron libre nous avons pour rappel, en une

dimension, la courbe de dispersion (cf. chapitre de Physique Quantique Ondulatoire):

(38.112)

qui est bien une parabole en fonction de k. Effectivement, si nous prenons notre

développement de Taylor en une dimension il nous reste:

(38.113)

et comme nous avons déterminé avant que:

(38.114)

Il vient:

(38.115)

Si l'électron est libre la courbe de dispersion nous impose d'avoir (sans présence de potentiel):

(38.116)

qui est alors considérée comme "l'énergie du minimum" Il nous reste alors:

(38.117)

et en prenant nous retombons sur courbe de dispersion d'une particule libre (ce qui

justifie donc le fait d'avoir posé pour un électron libre) :

(38.118)

Ce qui montre que l'approximation n'est pas trop fausse.... et justifie le fait que dans certains

ouvrages la relation précédente (série de Taylor) décrit une particule dite "quasi-libre".

Mais revenons-en à:

(38.119)

Et puisque le paquet d'onde est centré autour de normalisons-la comme valant 0 (ce qui

équivaut à centrer les valeurs du vecteur d'onde). Nous avons alors:

(38.120)

Ce qui est intéressant avec ces développements c'est que nous sommes partis d'un électron

libre sous forme de paquet d'onde et grâce au développement de Taylor nous nous retrouvons

avec une expression extrêmement simple de l'énergie d'un électron quasi-libre.

Il en sort que pour un électron quasi-libre nous, sans interactions et sans prendre en compte

les effets de spin nous avons:

(38.121)

Nous remarquons alors une chose forte sympathique! C'est que notre électron quasi-libre à un

nombre d'onde qui ressemble en tout point à celui d'une particule coincée dans un puits de

potentiel à parois rectilignes (voir la démonstration dans le chapitre de Physique Quantique

Ondulatoire).

Nous souhaiterons maintenant calculer à l'aide de l'expression de k (n'ayant pas directement

celle de E car trop complexe) la densité d'états (in extenso d'électrons) dans le volume donne

par le puits rectangulaire correspondant.

Nous avons démontré dans le chapitre de Physique Quantique Ondulatoire que pour le puits de

potentiel à barrières rectangulaires:

(38.122)

si nous imposions un nombre entier de demi-longueur d'onde. Si nous imposons un nombre

entier de longueur d'onde (conditions de Born-von Karman afin qu'après une translation du

réseau périodique du cristal nous retrouvions les mêmes propriétés) pour que la solution soit

physiquement acceptable, nous avons alors:

(38.123)

ce qui implique bien évidemment deux fois moins d'états.

Par extension, pour l'espace nous avons alors dans le cas tridimensionnel:

(38.124)

avec:

(38.125)

et où

Le résultat est très similaire à celui du puits de potentiel rectangulaire à une dimension mais

nous avons maintenant des conditions aux bords particulières afin d'avoir une correspondance

avec l'expérience et trois nombres quantiques principaux au lieu d'un seul. De plus, chaque

combinaison de ces trois nombre correspond à une fonction d'onde (état) différente. De plus

ces nombres sont indépendants (aucune condition imposée).

Nous avons alors le premier niveau où tous les n sont unitaires:

(38.126)

Si nous acceptons pour simplifier que le puits à des arêtes de longueurs égales (semi-

conducteur à réseau cristallin cubique), nous avons alors:

(38.127)

Représentons l'espace des k pour un tel réseau cubique et pour différents multiples

de :

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