Notes sur  les semi-conducteurs - 2° partie, Notes de Concepts de physique
Eleonore_sa
Eleonore_sa15 January 2014

Notes sur les semi-conducteurs - 2° partie, Notes de Concepts de physique

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Notes de physique sur les semi-conducteurs - 2° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la densité statistique non-dégénerée des porteurs négatifs, le développement.
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(38.128)

Donc tous les états quantifiés ne peuvent prendre que des valeurs espacées de dans

l'espace des k ce qui signifie que par volume élémentaire il n'y a un qu'un seul vecteur d'onde

possible et donc qu'un seul état associé. Effectivement, faites un dessin par-dessus la figure ci-

dessus si vous voulez et vous verrez (!) mais ne vous fiez pas aux gros points noirs qui sont là

uniquement pour montrer les extrémités des volumes élémentaires et qui ne correspondent pas

tous à des états possibles!

Ainsi, dans un volume sphérique de rayon k de l'espace des k. Nous avons un nombre précis de

volume élémentaires (états):

(38.129)

où dans la littérature il est d'usage (tradition) de ne conserver la forme de la deuxième égalité

dans les développements.

Remarque: La sphère de rayon k, contenant les niveaux à un électron qui sont occupés est

appelée parfois "sphère de Fermi". La valeur du rayon est alors notée et appelée "vecteur

d'onde de Fermi". La surface de la sphère de Fermi, qui sépare les niveaux occupés de ce qui ne

le sont pas comme nous le verrons plus tard est appelée "surface de Fermi".

En considérant maintenant le spin (ben oui tant qu'on y est...) nous multiplions par 2 puisqu'il y

a deux états de spin possible par état:

(38.130)

et en y injectant:

(38.131)

Nous avons alors:

(38.132)

La densité volumique d'états (quasi-)libres sera obtenue en dérivant cette dernière relation par

le volume:

(38.133)

Et si nous souhaitons la densité d'états (quasi-)libres (de vibration) par unité d'énergie et de

volume il va nous falloir en plus dériver par rapport à l'énergie :

(38.134)

Ce qui donne:

(38.135)

Ce résultat ne dépendant pas du volume, il est inchangé lorsque celui-ci tend vers l'infini! Donc

il est valable pour tout point du cristal semi-conducteur si celui-ci est parfait...

Ce que nous trouvons également parfois sous les formes (un peu malheureuses...) suivantes

dans certains ouvrages:

(38.136)

et il y aussi ceux-qui ne prennent en compte le spin que plus tard... ce qui donne une forme

identique que les trois relations précédentes mais à diviser par 2.

DENSITÉ STATISTIQUE NON-DÉGÉNERÉE DES PORTEURS NÉGATIFS

Bref, cependant cette relation à un défaut (encore un...)! Effectivement, nous avons vu dans le

chapitre de Mécanique Statistique lors de notre étude de la statistique quantique que dans un

système où même le spectre d'énergie est considéré comme continu, il est impossible de ne pas

prendre en compte la dégénération des différents niveaux d'énergie. Nous avions démontré

alors que pour une population de fermions, à une énergie (ou température) donnée le

pourcentage de niveaux dégénérés occupés est donné par la fonction de Fermi-Dirac:

(38.137)

et que la fonction retournait donc une valeur comprise entre 0 au minimum et 1 au maximum.

Cette fonctionne donne donc pour une température T fixée la probabilité qu'un électron occupe

un état d'énergieE.

Ce qui fait que notre relation D(E) surestime la valeur réelle de densité d'états (quasi-)libres

occupés pour une énergie (ou température) donnée. Ce qui fait que pour avoir une meilleure

approximation nous écrivions en toute logique la densité volumique d'états (quasi-)libres par

unité d'énergie:

(38.138)

Cependant, dans la pratique, nous allons chercher à calculer la densité volumique d'états

(quasi-)libres dans un spectre (intervalle) d'énergie. Il vient alors avec la correction ajoutée

précédemment:

(38.139)

Soit:

(38.140)

Il vient alors immédiatement que la densité volumique d'états (d'électrons) (quasi-)libres à une

température donnée (conditions normales de température pour les applications civiles) en

prenant en compte tous les états (niveaux) d'énergie possible est alors:

(38.141)

Prendre comme borne inférieure nous évite, comme nous allons le voir un peu plus bas, de

nous retrouver avec une racine négative... ce qui serait gênant... à priori.

De plus, nous pouvons sans erreurs appréciables reporter la limite de l'intégrale à l'infini

car quand Eest importante.

Malheureusement, cette intégrale n'est en général pas soluble analytiquement. Il va donc falloir

recourir à des approximations.

Nous allons commencer par faire l'hypothèse que nous somme dans le régime classique du gaz

d'électrons. C'est-à-dire que:

(38.142)

ce qui implique:

(38.143)

En d'autres termes l'énergie E doit être bien supérieure au potentiel chimique (assimilé

souvent malheureusement et à tort dans la littérature sur les semi-conducteurs au niveau de

Fermi ). Les physiciens notent alors cette énergie pour la distinguer et l'appellent

"énergie minimale de la bande de conduction" (qui correspond à l'énergie minimale d'un

électron quasi-libre pour satisfaire cette condition).

Remarque: Malheureusement comme précisé dans le paragraphe précédent (!) dans beaucoup

d'ouvrages de qualité sur les semi-conducteurs, le potentiel chimique , qui est pour rappel une

notion purement thermodynamique impliquant une hypothèse d'interactions, est remplacée par le

concept d'énergie de Fermi et pourtant ce n'est pas la même chose! Les deux énergies

coïncident que dans le cas où la température T est nulle!

Donc nous devons considérer le terme de "niveau de Fermi", comme n'étant rien d'autre qu'un

synonyme de "potentiel chimique" dans le contexte des semi-conducteurs.

Nous avons alors:

(38.144)

Où est la fonction de Maxwell-Boltzmann (cf. chapitre de Mécanique Statistique) donnée

pour rappel par:

(38.145)

Et correspond donc bien à un comportement non quantique (soit un gaz d'électrons non-

dégénéré!) car lorsque:

(38.146)

nous avons:

(38.147)

et donc les états d'énergie ne sont de loin pas tous occupés par les électrons (il n'y a donc pas

dégénérescence).

Nous sommes donc bien dans une situation où la physique classique prédomine sur la physique

quantique. C'est la raison pour laquelle dans cette approximation (de Maxwell-Boltzmann) nous

disons alors que nous avons affaire à un "semi-conducteur non-dégénéré" car les électrons ne

sont pas entassés dans les niveaux les plus bas disponibles.

Pour pouvoir continuer, nous faisons un changement de variable en posant:

(38.148)

d'où:

(38.149)

Il vient alors:

(38.150)

Nous faisons une intégration par parties:

(38.151)

nous faisons ensuite un changement de variable en posant:

(38.152)

Ce qui donne:

(38.153)

Nous avons déjà calculé cette intégrale dans le chapitre de Statistiques. Il vient:

(38.154)

Nous avons alors finalement:

(38.155)

Où pour rappel, est la masse de la quasi-particule (et non la masse de l'électron pour

rappel!). Donc après intégration tout se passe comme si tous les électrons étaient concentrés

sur le niveau d'énergie avec un nombre de places disponibles correspondant à:

(38.156)

Ce que nous notons traditionnellement (et de manière un peu malheureuse... car il n'est pas

évident de se rappeler qu'il s'agit d'une densité):

(38.157)

Ou encore:

(38.158)

Où nous avons environ à température ambiante (c'est le paramètre de la masse effective qui

varie entre les deux) les valeurs suivantes d'états (quasi-)libres respective pour le Silicium:

(38.159)

Et pour le Germanium:

(38.160)

Alors qu'il y a environ une densité d'atomes de et

environ électrons pour ces deux éléments.

Cela signifie qu'il y a donc un rapport de 1/100000 entre la densité d'électrons total et le

nombre d'électrons quasi-libres.

Nous remarquons cependant également que ce modèle théorique ne prend pas en compte la

structure électronique (numéro atomique) du matériau étudié.

Ainsi, nous voyons que les variations des densités d'électrons quasi-libres en fonction de la

température (dans la gamme de validité de la température...) sont essentiellement de type

exponentiel croissant ou décroissant.

A partir de la densité des électrons libres (attention il faut bien se rappeler que c'est

uniquement les électrons quasi-libres qui se baladent dans nos équations mathématiques

jusqu'à maintenant) dans le cristal semi-conducteur, nous pouvons en déduire l'énergie du

niveau de Fermi (plus rigoureusement il s'agit du potentiel chimique!):

(38.161)

d'où:

(38.162)

Et puisque nous avons toujours à cause du logarithme qui est négatif, l'énergie de

Fermi (plus rigoureusement il s'agit du potentiel chimique!) qui est inférieure ou égale à

l'énergie des électrons quasi-libres:

(38.163)

Ou en d'autres termes, les électrons (quasi-)libres ont une énergie supérieure à l'énergie de

Fermi (potentiel chimique...) ce qui est conforme à l'approximation du gaz non dégénéré faite

plus haut. Cela donne une condition d'importance capitale pour que les porteurs négatifs

puissent être les générateurs de la conduction dans le matériau.

Ainsi, lorsque nous nous plaçons à une température différente du zéro absolue, les états

électroniques ne sont pas tous dégénérés: il y a étalement des états occupés au voisinage de ce

qui constitue par définition l'énergie de Fermi (cf. chapitre de Mécanique Statistique), effet

d'autant plus accentué que la température est élevée.

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