Notes sur les sèries - 1° partie, Notes de Principes fondamentaux de physique

Télécharge Notes sur les sèries - 1° partie et plus Notes au format PDF de Principes fondamentaux de physique sur Docsity uniquement! Table des matières 1 Séries numériques FSR / SMP(S4) 3 1.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Séries à termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Séries alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Suites et Série de fonctions FSR / SMP(S4) 10 2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Suites de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.3 Séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3 Séries entières FSR / SMP(S4) 17 3.1 Définition et permières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Développement en série entière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Chapitre 1 Séries numériques 1.1 Définitions et premières propriétés Definition 1.1. 1) On appelle série à termes dans K = (R ou C) tout couple ((un)n, (Sn)n) forme d’une suite (un) d’éléments de K et de la suite (Sn) définie par Sn = n ∑ k=0 uk un est appelé le terme général de la série et Sn est la somme partielle d’ordre n. On écrira formellement ∑ un ou lieu de ((un)n, (Sn)n). 2) La série ∑ un converge, ou est convergente, si et seulement si (Sn) est convergente et S = lim Sn est appelée la somme de la série ∑ un. On note alors S = +∞ ∑ n un. La série diverge (ou est divergente) si elle ne converge pas. Proposition 1.2 (Condition nécessaire). Si la série ∑ un converge alors un −→ 0 quand n −→ +∞. Preuve : Ceci résulte du fait que un = Sn − Sn−1 −→ S− S = 0 où Sn = ∑ k≤n uk.  Exemples 1.3. 1. La série ∑ n≥1 1 n : Pour n assez grand, on a bien ln(n) ≥ ln(2). Alors, si on note par m la partie 3 6 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4) Preuve : La série ∑ un converge si et seulement si (par définition) la suite (Sn)n converge. Mais comme (Sn)n est croissante, puisque un ≥ 0, on sait que (Sn)n converge si et seulement si elle est majorée.  Théorème 1.10 (Critères de convergence). Soient les deux séries ∑ un et ∑ vn. Alors on a 1. Si 0 ≤ un ≤ vn, alors on a ∑ vn converge ⇒ ∑ un converge et ∑ un diverge ⇒ ∑ vn diverge. 2. Si un = O(vn) avec un ≥ 0 et vn ≥ 0, alors ∑ vn converge⇒ ∑ un converge. 3. Si un ∼ vn pour n→ +∞ et vn ≥ 0, alors ∑ un et ∑ vn sont de même nature 4. Régle nαun → 0 : S’il existe α > 1 tel que nαun → 0 alors ∑ un converge. 5. Régle de Cauchy : Soit un ≥ 0 telle que n √ un → l, alors ∑ un converge si l < 1 et diverge si l > 1. 6. Régle de D’Alembert : Soit un > 0 telle que un+1 un → l, alors ∑ un converge si l < 1 et diverge si l > 1. Mise en garde : Le cas l = 1 dans les régles de Cauchy et D’Alembert est un casqu’il conviendrait d’étudier à part dans chaque cas. Exemple 1.11 (Exemple fondamental : Série de Riemann). On considère la série ∑ 1nα avec α ∈ R. • Si α ≤ 0 alors ∑ 1nα diverge car 1 nα 9 0. • Si α = 1 alors la série ∑ 1n diverge (voir Exemples 1.3). • Si 0 < α < 1, on a bien 1n < 1 nα est donc la série ∑ 1 nα diverge d’après (1) du théorème précédent. • Si α > 1, alors on a 1 nα < ∫ n n−1 dt tα = 1 α− 1 ( 1 (n− 1)α−1 − 1 nα−1 ) et donc N ∑ n=1 1 nα ≤ 1 α− 1 N ∑ n=1 ( 1 (n− 1)α−1 − 1 nα−1 ) = 1 α− 1(1− 1 Nα−1 ) ≤ 1 α− 1. Il en résulte alors que ∑ 1nα converge puisque la suite SN = N ∑ n=1 1 nα est majorée. Résultat fondamental : La série ∑ 1nα ; α ∈ R, converge si et seulement si α > 1. 1.2. SÉRIES À TERMES POSITIFS 7 Exemples 1.12. 1. un = 2 2ne−2n n . Par la régle de D’Alembert, on a un+1 un = 22(n+1)e−2(n+1) n+1 22ne−2n n = ( 2 e )2( n n + 1 ) −→ ( 2 e )2 < 1. Donc ∑ 2 2ne−2n n est convergente. On peut utiliser aussi la régle de Cauchy. 2. un = ( nn+1) n2 = (1 + 1n ) −n2 . Par la règle de Cauchy, on a n √ un = (1 + 1 n )−n = 1 (1 + 1n )n → 1 e < 1. Alors ∑( nn+1) n2 converge. 3. Soit un = ( ann+1) n2 ; a ∈ R+, Par la régle de Cauchy, on a n √ un ( a (1+ 1n ) )n = a n( 1+ 1n )n • n√un → 0 si a < 1 • n√un → 1e < 1 si a = 1 • n√un → +∞ si a > 1 Par suite, la série ∑(un = ( ann+1) n2) ; a ∈ R+, converge si et seulement si a ≤ 1. 4. Soit un = an ln(1 + 1n )− b cos 1 n + c sin 1 n . On sait que ln(1 + 1 n ) = 1 n − 1 2n2 + 1 3n3 + o( 1 n3 ) cos 1 n = 1− 1 2n2 + o( 1 n2 ) sin 1 n = 1 n + o( 1 n2 ). 8 CHAPITRE 1. SÉRIES NUMÉRIQUES FSR / SMP(S4) Il en résulte que un = a− b + (c− a 2 ) 1 n + ( a 3 + b 2 ) 1 n2 + o( 1 n2 ). • Si a 6= b alors un −→ a− b 6= 0, et donc ∑ un diverge. • a = b et c 6= a2 alors un ∼ α 1 n et donc ∑ un diverge d’après (3) du théorème précédent (puisque ∑ 1n diverge). • Si a = b, c = − a2 et a 3 + b 2 6= 0, alors un ∼ α 1 n2 , donc ∑ un converge. • Si a = b, c = − a2 et a 3 + b 2 = 0, alors un = o ( 1 n2 ) , donc ∑ un converge. 5. un = ∫ π n 0 sin x 1+x2 dx. Pour tout x ∈ [0, πn ] ⊂ [0, π] on a 1 1+π2 ≤ 1 1+x2 ≤ 1. D’où, sin(x) 1 + x2 ≤ sin(x) car sin(x) ≥ 0 pour x ∈ [0, π]. On en déduit, 0 ≤ un ≤ ∫ π n 0 sin dx = 1− cos π n ∼ π 2 n2 . Donc ∑ un converge. Definition 1.13. La série ∑ un est dite absolument convergente si la série à termes posi- tifs ∑ |un| converge. Proposition 1.14. Si la série ∑ un est absolument convergente, alors ∑ un converge Preuve : Posons Sn = n ∑ k=0 uk et Tn = n ∑ k=0 |uk|, on a |Sn+p − Sn| = |un+1 + · · ·+ un+p| ≤ |un+1|+ · · ·+ |un+p| = Tn+p − Tn. Mais (Tn) converge par hypothèse, donc (Tn) est de Cauchy. Il en résulte que (Sn) est aussi de Cauchy, et donc converge.