Notes sur les séries - 1° partie, Notes de Logique mathématique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)
Caroline_lez
Caroline_lez14 January 2014

Notes sur les séries - 1° partie, Notes de Logique mathématique. Université des Sciences et Technologies de Lille (Lille I)

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Notes de mathématique sur les séries - 1° partie. Les principaux thèmes abordés sont les suivants: la série numérique, la somme de la série, les séries de Gauss, les nombres et polynômes de Bernoulli, les équations.
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SÉRIES

Le physicien a souvent besoin pour résoudre simplement et formellement des problèmes,

d'approximer certains "termes" (cf. chapitre de Théorie De La Démonstration) de ses équations.

Pour cela, il utilisera les propriétés de certaines séries.

Il existe, une quantité phénoménale de séries et de théories gravitant autour de ces dernières,

mais nous citerons en particulier les séries de Taylor (utilisées un peu partout), les séries de

Fourier (théorie du signal et en mécanique ondulatoire) et les séries ou fonctions de Bessel

(physique nucléaire) dont nous ferons une étude sommaire ici.

Définition: Soit donnée une suite numérique infinie :

(11.48)

L'expression :

(11.49)

est appelée "série numérique".

Définition: La somme partielle des n premiers termes de la série est appelée "somme partielle" et

notée :

(11.50)

Si la limite notée S suivante existe et est finie :

(11.51)

nous l'appelons la "somme de la série" et nous disons que la "série converge" (elle est donc de

Cauchy). Cependant, si la limite n'existe pas, nous disons que la "série diverge" et n'a pas de

somme (pour plus de détails voir le sous-chapitre plus loin traitant des critères de convergence).

Montrons par ailleurs que si est une série numérique convergente alors :

(11.52)

Démonstration:

Nous supposons d'abord que est bien une série convergente et notons par S sa limite.

Posons :

(11.53)

Alors :

(11.54)

Or, si la série est convergente :

(11.55)

Donc :

(11.56)

C.Q.F.D.

Voyons comment calculer la somme partielle des quelques séries classiques :

SÉRIES DE GAUSS

Les séries arithmétiques de Gauss sont l'expression de la somme de n premiers entiers non nuls

élevés à une puissance donnée sous une forme condensée. L'application de cette forme condensée

de série à une utilité pratique en physique lorsque l'on souhaite simplifier l'expression de certains

résultats.

Gauss avait trouvé une méthode séduisante en 1786 pour déterminer cette expression lorsqu'il

avait 9 ans (...):

(11.57)

En simplifiant, nous trouvons facilement:

(11.58)

pour .

Nous pouvons continuer ainsi pour des ordres supérieurs (nous les présentons non en tant

qu'exercices mais parce que ces relations sont utiles!):

Calculons maintenant la somme des n premiers carrés (toujours non nuls). Posons:

(11.59)

nous savons que (binôme de Newton):

nous pouvons donc écrire et ajouter membre à membre les n égalités suivantes:

(11.60)

Avec quelques manipulations algébriques élémentaires:

(11.61)

d'où:

(11.62)

Finalement:

(11.63)

Terminons avec la somme des n premiers cubes (non nuls). Le principe étant le même que

précédemment, nous posons:

(11.64)

Nous savons par ailleurs que (binôme de Newton):

(11.65)

Nous obtenons en faisant varier k de 1 à n, n relations que nous pouvons ajouter membre à

membre:

(11.66)

Nous avons donc:

(11.67)

Ce qui donne après développement:

(11.68)

Et après une première simplification:

(11.69)

et une deuxième:

(11.70)

Le résultat final est donc :

(11.71)

ou écrit autrement:

(11.72)

Evidemment, nous pouvons continuer ainsi longtemps mais à partir d'une certaine valeur de

l'élévation de la puissance les choses se compliquent un petit peu (de plus, la méthode est un peu

longue). Ainsi, un des membres de la famille des Bernoulli (c'était une famille de mathématiciens

assez doués...) a montré une relation générale fonctionnant pour n'importe quelle puissance en

définissant ce que nous appelons le "polynôme de Bernoulli".

NOMBRES ET POLYNÔMES DE BERNOULLI

Comme nous venons de le voir plus haut il est possible d'exprimer la somme des n premiers

entiers non nuls élevés à une puissance donnée selon (les quatre premiers ont été démontrés

précédemment) les relations suivantes où nous avons posé avec n' le nombre de termes

dont nous voulons la somme 0 non compris (d'où le signe négatif que nous n'avions pas plus haut)

:

(11.73)

Jacob Bernoulli remarqua ensuite que les polynômes avaient la forme :

(11.74)

Dans cette expression, les nombres semblent ne pas dépendre de p. Plus

généralement, après tâtonnement on remarque que le polynôme peut être écrit sous la forme :

(11.75)

Ce qui donne par identification les "nombres de Bernoulli" :

(11.76)

Par la suite, les mathématiciens dans leurs recherches sont tombés au hasard sur le fait que les

nombres de Bernoulli pouvaient être exprimés par la série :

avec (11.77)

En d'autres termes, la fonction génératrice des nombres de Bernoulli serait G(z). Si nous

développons les premiers termes de cette série :

(11.78)

Démonstration:

Nous avons vu dans notre étude des nombres complexes (cf. chapitre sur les Nombres) que :

(11.79)

Dès lors :

(11.80)

Posons maintenant :

(11.81)

Nous avons alors :

. (11.82)

Nous voyons (en distribuant) que :

(11.83)

par suite pour que tout cela soit égal à l'unité il faut que :

(11.84)

De la deuxième équation nous tirons :

(11.85)

De la troisième équation nous tirons :

(11.86)

etc.

En continuant ainsi nous montrons que :

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